\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
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\newcommand{\nomfichier}{[2GT.DM15] Second degre}
\author{Pierquet}
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\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre avant le ...}}}

\begin{document}

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\lhead{\entete{}}
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\rhead{\entete{2GT - Juin 2018}}
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\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\thispagestyle{entetedm}

\grandtitre{DM16 - Second degré, problème de synthèse, v2}

\nomprenom

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-x^2+60x-500$.

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout réel $x$, $f(x)=(10-x)(x-50)$.
		\item Comment s’appelle cette écriture de $f(x)$ ? 
		\item À l’aide d’un tableau de signe, donner l'ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)>0$.
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout réel $x$, $f(x)=-(x-30)^2+400$.
		\item Comment s'appelle cette écriture de $f(x)$ ?
		\item Établir le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$. (Justifier) 
		\item En déduire que la fonction $f$ atteint un maximum sur pour une valeur de $x$ que l’on précisera.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\textbf{Partie B}

\medskip

Une entreprise  fabrique chaque jour  entre 0 et 60 hectolitres d’un produit. 

On suppose que toute la quantité fabriquée est vendue. 

Le directeur veut faire une étude sur la production journalière comprise entre 0 et 60 hectolitres. 
Il estime que le coût de production de $x$ hectolitres de produit, en milliers d’euros, est modélisé par la fonction C dont l’expression est $C(x)=x^2-10x+500$ où $x \in \intervFF{0}{60}$.
 
Il souhaite savoir quelles quantités fabriquées et vendues permettent de réaliser un bénéfice 
positif et pour quelle production le bénéfice est maximal. Chaque hectolitre est vendu \np{50000} euros.

\smallskip
  
Sur le graphique suivant on a tracé la courbe $\courbe{f}$ représentant la fonction coût. 

\begin{enumerate}
	\item Déterminer :
	\begin{enumerate}
		\item par lecture graphique, le coût de production de 40 hectolitres fabriqués ;
		\item par lecture graphique, la production, à une unité près, qui correspond à un coût total de fabrication de 1300 milliers d’euros.  
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $C(20)$.
		\item Par calculs, résoudre dans l’équation $C(x)=500$.
	\end{enumerate}
	\item On note $R(x)$ la recette, en milliers d’euros, correspondant à la vente de $x$ hectolitres fabriqués. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $R(x)$ est égal à $50x$.
		 
		Quelle est la nature de la représentation graphique de cette fonction $R$ ? 
		\item Tracer sur le graphique la courbe représentant la fonction R ?
	\end{enumerate}
	\item On désigne par $B(x)$ le bénéfice, en milliers d’euros, réalisé par la fabrication et la vente de $x$ hectolitres de produit. 
	\begin{enumerate}
		\item À l’aide du graphique, déterminer les quantités permettant de réaliser un bénéfice positif. 
		\item Justifier que $B(x)=-x^2+60x-500$ où $x \in \intervFF{0}{60}$.
		\item Expliquer en utilisant la \textbf{partie A} et déterminer : 
		\begin{itemize}
			\item les quantités fabriquées et vendues qui permettent de réaliser un bénéfice positif ;
			\item la quantité à fabriquer et vendre qui permet de réaliser le bénéfice maximum, en précisant ce bénéfice maximum.
		\end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

~

\begin{center}
	\defgrille{0}{60}{10}{5}{0}{3600}{200}{100}
	\psset{xunit=0.25cm,yunit=0.007cm,algebraic=true,tickwidth=1.25pt}
	\begin{pspicture}(0,0)(60,3600)
		\grilles{linewidth=0.4pt,linecolor=orange}
		\grilles{linewidth=0.6pt,linecolor=orange}
		\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=200]{->}(0,0)(60,3600)
		\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{60}{x^2-10*x+500}
		\rput(57,3450){\Large \blue $\courbe{f}$}
	\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}