\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
\usepackage{cp-sujet}
\newcommand{\nomfichier}{[2GT.DM15] Second degré - Correction}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfstartview=FitH}
\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre avant le ...}}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Juin 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Correction du DM15}

\begin{enumerate}
	\item La fonction est (oui oui) mise sous forme canonique : $f(x)=0,5 \times (x-0)^2+0$ donc on a $\alpha=\beta=0$
	
	Sachant que $a=0,5>0$, on en déduit le tableau de variations de $f$ :
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/0.8,$f$/1.6}{$-\infty$,$0$,$+\infty$}
			\tkzTabVar{+/$ $,-/$0$,+/$ $}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $-0,5(x-1)^2+2,5=-0,5(x^2-2x+1)+2,5=-0,5x^2+x-0,5+2,5=-0,5x^2+x+2=g(x)$ \checkmark
		\item On vient donc de déterminer la forme canonique de $g$, avec $a=-0,5<0$, $\alpha=1$ et $\beta=2,5$
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/0.8,$g$/1.6}{$-\infty$,$1$,$+\infty$}
			\tkzTabVar{-/$ $,+/${2,5}$,-/$ $}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}
	\item On utilise la fonction TABLE et la fonction GRAPH pour tracer les courbes demandées
	\begin{center}
		\includegraphics[width=0.3\linewidth]{graphics/dm15_calc_a}~~\includegraphics[width=0.3\linewidth]{graphics/dm15_calc_b}~~\includegraphics[width=0.3\linewidth]{graphics/dm15_calc_c}
		
		\smallskip
		
		\defgrille{-3}{3}{0.5}{0.25}{-2}{3}{0.5}{0.25}
		\psset{unit=2cm,tickwidth=1.25pt,algebraic=true}
		\begin{pspicture}(-3,-2)(3,3)
			\grilles{linewidth=0.4pt,linecolor=orange}
			\grillep{linewidth=0.75pt,linecolor=orange}
			\psaxes[comma,linewidth=1.25pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(-3,-2)(3,3)
			\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-2.45}{2.45}{0.5*x^2}
			\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-2}{3}{-0.5*x^2+x+2}
			\psline[linecolor=Sepia,linewidth=1.75pt]{<->}(-1,-0.75)(2,-0.75)
			\psdots[linecolor=gray,dotscale=2](2,2)(-1,0.5)
			\psdot[linecolor=ForestGreen,dotscale=2](-1.2361,0)
			\rput(-1.5,1.5){\large \textcolor{blue}{$\mathcallig{C}_f$}}
			\rput(-1.5,-1.25){\large \textcolor{red}{$\mathcallig{C}_g$}}
		\end{pspicture}
	\end{center}
	NB : On pouvait proposer une autre unité verticale pour afficher l'intégralité des deux courbes
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $(x-2)(x+1)=x^2+x-2x-2=x^2-x-2$ qui est le résultat demandé
		\item $f(x)=g(x) \ssi 0,5x^2=-0,5x^2+x+2 \ssi 0,5x^2+0,5x^2-x-2 = 0 \ssi x^2-x-2=0 \ssi (x-2)(x+1)=0$
		
		Par équation produit, on trouve directement $\mathcallig{S}= \left\lbrace 2\,;\, -1 \right\rbrace$
		\item $f(x)=g(x) \ssi 0,5x^2>-0,5x^2+x+2 \ssi 0,5x^2+0,5x^2-x-2 > 0 \ssi x^2-x-2>0 \ssi (x-2)(x+1)>0$
		
		On peut faire un tableau de signes (produit et zéro):
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/1,$x-2$/1,$x+1$/1,expr/1}{$-\infty$,$-1$,$2$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		Ainsi $\mathcallig{S}= \intervOO{-\infty}{-1} \cup \intervOO{2}{+\infty}$
		\item On peut on en déduire que :
		\begin{itemize}
			\item les courbes $\courbe{f}$ et $\courbe{g}$ se croisent pour $x=-1$ et $x=2$ \hfill{}\begin{tikzpicture}\draw[fill=gray,color=gray] (0,0) circle (3pt);\end{tikzpicture}
			\item la courbe $\courbe{g}$ est au-dessus de la courbe $\courbe{f}$ entre $-1$ et 2 \hfill{}\begin{tikzpicture}\draw[<-,line width=1.75pt,color=Sepia] (0,0) -- (0.75,0);\draw[<-,line width=1.75pt,color=Sepia] (1.5,0) -- (0.75,0);\end{tikzpicture}
		\end{itemize}
		On peut utiliser un tableau pour consigner la position relative (PR) de deux courbes :
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[espcl=4]{$x$/1,PR/1.75}{$-\infty$,$-1$,$2$,$+\infty$}
			\draw (N21) -- ($(N22.center)+(5pt,0pt)$);
			\draw (N21) -- ($(N22.center)+(-5pt,0pt)$);
			\draw (N31) -- ($(N32.center)+(5pt,0pt)$);
			\draw (N31) -- ($(N32.center)+(-5pt,0pt)$);
			\tkzTabLine{,\courbe{f} \text{ au-dessus de }\courbe{g},,\courbe{g} \text{ au-dessus de }\courbe{f},,\courbe{f} \text{ au-dessus de }\courbe{g},}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $-0,5\left[(x-1)^2-5\right]=-0,5(x-1)^2+2,5=g(x)$ ce qui est demandé
		\item On a $-0,5\left[(x-1)^2-5\right]=-0,5\left[(x-1)^2-\sqrt{5}^2\right]=-0,5\left(x-1-\sqrt{5}\right)\left(x-1+\sqrt{5}\right)$ qui est la factorisation attendue
		\item On va utiliser la forme factorisée :
		
		$g(x)=0 \ssi -0,5\left(x-1-\sqrt{5}\right)\left(x-1+\sqrt{5}\right)=0 \ssi \begin{dcases} x-1-\sqrt{5}=0 \\ x-1+\sqrt{5}=0 \end{dcases} \ssi \begin{dcases} x=1+\sqrt{5} \\ x=1-\sqrt{5} \end{dcases}$
		
		Ainsi $\mathcallig{S}= \left\lbrace 1+\sqrt{5}\,;\, 1-\sqrt{5} \right\rbrace$ qui sont les abscisses des points d'intersection de $\courbe{g}$ avec l'axe des abscisses%
		\hfill{}\begin{tikzpicture}\draw[fill=gray,color=ForestGreen] (0,0) circle (3pt);\end{tikzpicture}
		\item $g(x)=0 \ssi -0,5(x-1-\sqrt{5})(x-1+\sqrt{5})>0$ qui peut se traiter via un tableau de signes
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/1,${-0,5}$/1,$x-1-\sqrt{5}$/1,$x-1+\sqrt{5}$/1,expr/1}{$-\infty$,$1-\sqrt{5}$,$1+\sqrt{5}$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,}
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		Ainsi $\mathcallig{S}= \intervOO{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}$
		
		La courbe $\courbe{g}$ est donc au-dessus de l'axe des abscisses entre $1-\sqrt{5}$ et $1+\sqrt{5}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{document}