\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
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\newcommand{\nomfichier}{[2GT.DM11] Situation de probas}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
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\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre avant le ...}}}
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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Mars 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{}}
\rfoot{\pied{}}

\thispagestyle{entetedm}

\grandtitre{DM11 - Une situation de probabilités}

\begin{leftbar}
Un jeu consiste à lancer trois dés parfaitement équilibrés et à calculer la somme S des points marqués. On gagne si l’on obtient $S=9$ ou $S=10$. Bob, Toscan et Galiléo cherchent à évaluer leurs chances de gagner.
\end{leftbar}

\titrexo{Partie A - La démarche de Bob }\textcolor{titrebleu}{\hrulefill}\includegraphics[height=12pt]{graphics/dm11_de}

\medskip

Bob s’empresse d’écrire les sommes susceptibles d’êtres obtenues. Il trouve seize valeurs qu’il considère équiprobables en raison de la parfaite honnêteté des dés.
\begin{enumerate}
	\item Préciser l’univers $\Omega_B$. Bob considère que toutes les sommes sont équiprobables.
	\item En déduire la probabilité $p_B$ de gagner à ce jeu, selon Bob.
\end{enumerate}

\titrexo{Partie B - La démarche de Toscan }\textcolor{titrebleu}{\hrulefill}\includegraphics[height=12pt]{graphics/dm11_de}

\medskip

Toscan conteste l’hypothèse d’équiprobabilité prise par Bob sur les sommes possibles et se dit persuadé que l’on obtient beaucoup plus facilement 10 que 3 ou 18.

Il inscrit d’ailleurs dans un tableau (ici incomplet) toutes les façons d’obtenir les valeurs de $S$ :
{\footnotesize \begin{center}
	\begin{tabular}{|M{4cm}|*{8}{M{1.1cm}|}}
		\hline
		$S$ & 3 & 4 & 5 & \dots & 11 & 12 & \dots & 18 \\ \hline
		Sommes y conduisant & $1+1+1$ & $1+1+2$ & $1+1+3$ $1+2+2$ && $1+4+6$ $1+5+5$ $2+3+6$ $2+4+5$ $3+3+5$ $3+4+4$ & $1+5+6$ $2+4+6$ $2+5+5$ $3+3+6$ $3+4+5$ $4+4+4$ & & $6+6+6$ \\ \hline
		Nb de possibilités & 1 & 1 & 2 & \dots & 6 & 6 & \dots & 1 \\ \hline
	\end{tabular}
\end{center}}
Puis il explique avec conviction à ses camarades que ce ne sont pas les valeurs de $S$ qui sont équiprobables, mais les résultats qui conduisent à ces sommes.
\begin{enumerate}
	\item Reproduire le tableau précédent et vérifier que l’univers $\Omega_T$ de Toscan compte 56 issues.
	\item Quelles seront alors les probabilités des évènements \og S=9 \fg{} et \og S=10 \fg{} ?
	
	En déduire la probabilité $p_T$ de gagner à ce jeu, selon Toscan.
\end{enumerate}

\titrexo{Partie C - La démarche de Galiléo }\textcolor{titrebleu}{\hrulefill}\includegraphics[height=12pt]{graphics/dm11_de}

\medskip

Galiléo est plus réservé devant les propositions faites par ses camarades : il ne croit ni en l’équiprobabilité des sommes, ni en celle des groupes de trois chiffres qui y conduisent. Il précise même, qu’à son avis, 3 est plus difficile à obtenir que 4, car un seul scénario conduit à 3 alors que trois scénarios conduisent à 4 selon le dé qui amène le numéro 2. Aussi propose-t-il de différencier les dés (en les imaginant de trois couleurs : rouge, vert, bleu) et de retenir comme issues possibles tous les triplets ordonnés du type $({\red r}\,;\,{\green v}\,;\,{\blue b})$ qui eux sont équiprobables.
\begin{enumerate}
	\item Combien de triplets compte l’univers $\Omega_G$ de Galiléo ? (on pourra \og compter \fg{} le nombre de possibilités pour le dé rouge, puis le dé vert, puis le dé bleu\dots)
	\item On remarque que les triplets $({\red 1}\,;\,{\green 2}\,;\,{\blue 3})$ et $({\red 1}\,;\,{\green 3}\,;\,{\blue 2})$ conduisent à la même somme ($1+2+3=6$).
	\begin{enumerate}
		\item Pour une somme composée de trois nombres différents, déterminer le nombre de triplets qui y conduisent.
		\item Faire de même avec une somme composée de deux nombres différents (il y a un double).
	\end{enumerate}
	\item Déterminer le nombre total d’issues (donc le nombre total de triplets) réalisant les évènements \og S=9 \fg{} et \og S=10 \fg{} et calculer leurs probabilités. En déduire la probabilité $p_G$ de gagner selon Galiléo.
\end{enumerate}

\titrexo{Partie D - Argumenter sur un jeu existant }\textcolor{titrebleu}{\hrulefill}\includegraphics[height=12pt]{graphics/dm11_de}

\medskip

\parpic[r]{\includegraphics[height=3.5cm]{graphics/dm11_cantstop}}Dans le commerce, on peut trouver le jeu \textit{Can’t Stop} édité par Asmodée, qui consiste (brièvement) à lancer quatre dés, à noter les deux sommes obtenues (en regroupant les dés 2 par 2), et ainsi faire avancer des pions sur les colonnes correspondantes aux sommes obtenues.
\begin{enumerate}
	\item Expliquer, en argumentant, pourquoi le \og plateau \fg{} de jeu a cette forme triangulaire.
	\item Proposer un plateau de jeu qui collerait avec le même principe consistant à lancer 
		
	cette fois-ci $3\times3$ dés.
\end{enumerate}

\end{document}