\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
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\newcommand{\nomfichier}{[2GT.DM05] Géométrie et fonction - Correction}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfstartview=FitH}  
\renewcommand{\i}{\text{i}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Décembre 2017}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Correction du DM05}

\titrexo{Partie A : vers une solution}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les figures sont données à la fin du corrigé.
		\item Pour calculer la longueur $MN$, on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle $AMN$ rectangle en $M$ :
		
		$AN^2=AM^2+MN^2 \Rightarrow MN^2=AN^2-AM^2=6^2-4,5^2=15,75 \Rightarrow AM=\sqrt{15,75} \approx 3,97$~cm
		\item L'aire du rectangle $AMNP$ vaut de ce fait $AM \times MN = 4,5 \times \sqrt{15,75} \approx 17,86$~cm²
	\end{enumerate}
	\item De même lorsque $AM=2,5$, on obtient $AN=\sqrt{6^2-2,5^2}=\sqrt{29,75} \approx 5,45$~cm
	
	Et ainsi l'aire de $AMNP$ vaut $AM \times MN = 2,5 \times \sqrt{29,75} \approx 13,64$~cm²
	\item Le tableau complété est :
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{15cm}{|l|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
			\hline
			$AM$ & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 & 3 & 3,5 & 4 & 4,5 & 5 & 5,5 \\
			\hline
			Aire de $AMNP$ & 5,4 & 8,7 & 11,3 & 13,6 & 15,6 & 16,6 & 17,6 & 17,9 & 16,5 & 13,5 \\
			\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	Le tableau n'est pas assez \og précis \fg{}, on ne peut pas être sûr qu'une seule position du point $M$ convienne
\end{enumerate}

\medskip

\titrexo{Partie B : à l’aide d’une fonction}

\begin{enumerate}
	\item La figure suggère que $x \in \intervFF{0}{6}$ car $M \in [AB]$ et $AB=6$
	\item De la même manière que pour le calcul de la longueur $MN$ et de l'aire de $AMNP$ :
	
	\tabu{}$MN=\sqrt{AM^2-AM^2}=\sqrt{6^2-x^2}=\sqrt{36-x^2}$
	
	\tabu{}de ce fait, $f(x)=\mathcallig{A}_{AMNP}=AM \times MN = x \times \sqrt{36-x^2} = x\sqrt{36-x^2}$ pour $x$ dans $\intervFF{0}{6}$
	\item Le tableau de valeurs demandé est le suivant (arrondis 0,01) :
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
			\hline
			$x$ & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 & 3 & 3,5 & 4 & 4,5 & 5 & 5,5 & 6\\
			\hline
			$f(x)$ & 0 & 2,99 & 5,92 & 8,71 & 11,31 & 13,64 & 15,59 & 17,06 & 17,89 & 17,86 & 16,58 & 13,19 & 0 \\
			\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	\item On obtient la courbe suivante :
%	\begin{center}
%		\includegraphics[width=0.7\linewidth]{graphics/dm11_correction_courbe}
%	\end{center}
	\begin{center}
		\psset{xunit=17mm,yunit=4.3mm,tickwidth=1.25pt,algebraic=true}
		\defgrille{0}{7}{0.5}{0.5}{0}{20}{2}{2}
		\begin{pspicture}(-0.5,-2)(7,20)
			\grillep{linecolor=gray,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt}
			\psaxes[comma,linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=2]{->}(0,0)(7,20)
			\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=purple,plotpoints=300]{0}{6}{x * sqrt(36-x^2)}
			\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,6)(7,6)
			\psline[ArrowInside=->,arrowscale=2,arrowinset=0,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed](1.014,6)(1.014,0)
			\psline[ArrowInside=->,arrowscale=2,arrowinset=0,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed](5.913,6)(5.913,0)
			\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,12)(7,12)
			\psline[ArrowInside=->,arrowscale=2,arrowinset=0,linewidth=1.25pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](2.141,12)(2.141,0)
			\psline[ArrowInside=->,arrowscale=2,arrowinset=0,linewidth=1.25pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](5.605,12)(5.605,0)
			\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=ForestGreen](0,14)(7,14)
			\psline[ArrowInside=->,arrowscale=2,arrowinset=0,linewidth=1.25pt,linecolor=ForestGreen,linestyle=dashed](5.414,14)(5.414,0)
			\psline[ArrowInside=->,arrowscale=2,arrowinset=0,linewidth=1.25pt,linecolor=ForestGreen,linestyle=dashed](2.586,14)(2.586,0)
			\psdots[linecolor=red,dotsize=6pt](1.014,6)(5.913,6)
			\psdots[linecolor=blue,dotsize=6pt](2.141,12)(5.605,12)
			\psdots[linecolor=ForestGreen,dotsize=6pt](2.586,14)(5.414,14)
		\end{pspicture}
	\end{center}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item La courbe permet de conjecturer le fait qu'il existe une seule position du point $M$ pour laquelle l'aire est maximale, car il existe un maximum (absolu) pour la courbe en $x \approx 4,2$
		\item Le tableau de valeurs demandé est le suivant (arrondis à $10^{-5}$) :
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
				\hline
				$x$ & 4,2 & 4,21 & 4,22 & 4,23 & 4,24 & 4,25 & 4,26 & 4,27 & 4,28 & 4,29 & 4,3 \\
				\hline
				$f(x) \approx 17,99\dots$ & 640 & 789 & 898 & 968 & 999 & 989 & 939 & 849 & 718 & 546 & 333 \\
				\hline
			\end{tabularx}
		\end{center}
		\item Le tableau de valeurs demandé est le suivant (arrondis à $10^{-7}$) :
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
				\hline
				$x$ & 4,24 & 4,241 & 4,242 & 4,243 & 4,244 & 4,245 & 4,246 & 4,247 & 4,248 & 4,249 & 4,25 \\
				\hline
				$f(x) \approx 17,9999\dots$ & 860 & 946 & 992 & 997 & 963 & 889 & 774 & 620 & 429 & 190 & 000 \\
				\hline
			\end{tabularx}
		\end{center}
		\item On peut donc conjecturer que :
		
		\tabu{}$\bullet~~$l'aire maximale vaut environ \np{17,9999997}~cm²
		
		\tabu{}$\bullet~~$cette aire maximale est atteinte pour un longueur $AM \approx 4,243$~cm
	\end{enumerate}
	\item D'après le graphique, on peut constater que l'équation $f(x)=14$ admet exactement deux solutions
	
	Ce qui est équivalent à trouver les positions de $M$ pour lesquelles l'aire vaut 14~cm²
	
	On lit $\mathcallig{S}=\left\lbrace 2,55\,;\,5,4 \right\rbrace$ 
	\item Pour que l'aire du rectangle soit supérieure ou égale à 12~cm² :
	
	\tabu{}$\bullet~~$on résout $f(x) \pg 12$
	
	\tabu{}$\bullet~~$on lit $\mathcallig{S}= \intervFF{2,2}{5,6}$
	
	\smallskip
	
	Pour que l'aire du rectangle soit inférieure ou égale à 6~cm² :
	
	\tabu{}$\bullet~~$on résout $f(x) \pp 6$
	
	\tabu{}$\bullet~~$on lit $\mathcallig{S}= \intervFF{0}{1} \cup \intervFF{5,9}{6}$
\end{enumerate}

\medskip

\titrexo{Figures}

%\begin{center}
%	\includegraphics[width=5cm]{graphics/dm11_correction_45}~~\includegraphics[width=5cm]{graphics/dm11_correction_25}~~\includegraphics[width=5cm]{graphics/dm11_correction_3rac2}
%\end{center}

\begin{center}
	\psset{unit=0.66cm}
	\begin{pspicture}(-1,-1)(6.5,6.5)
		\def\xm{4.5} \def\ym{3.97}
		\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0,6)(0,0)(6,0)
		\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=ForestGreen,linestyle=dashed](\xm,0)(\xm,\ym)(0,\ym)
		\psarc[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,0){6}{0}{90}
		\psdots[linecolor=purple,dotsize=4pt](0,0)(6,0)(0,6)(\xm,0)(\xm,\ym)(0,\ym)
		\uput[dl](0,0){\point{A}}\uput[dr](6,0){\point{B}}\uput[ul](0,6){\point{C}}
		\uput[d](\xm,0){\point{M}}\uput[ur](\xm,\ym){\point{N}}\uput[l](0,\ym){\point{P}}
	\end{pspicture}
	\hspace{5mm}
	\psset{unit=0.66cm}
	\begin{pspicture}(-1,-1)(6.5,6.5)
		\def\xm{2.5} \def\ym{5.45}
		\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0,6)(0,0)(6,0)
		\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=ForestGreen,linestyle=dashed](\xm,0)(\xm,\ym)(0,\ym)
		\psarc[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,0){6}{0}{90}
		\psdots[linecolor=purple,dotsize=4pt](0,0)(6,0)(0,6)(\xm,0)(\xm,\ym)(0,\ym)
		\uput[dl](0,0){\point{A}}\uput[dr](6,0){\point{B}}\uput[ul](0,6){\point{C}}
		\uput[d](\xm,0){\point{M}}\uput[ur](\xm,\ym){\point{N}}\uput[l](0,\ym){\point{P}}
	\end{pspicture}
	\hspace{5mm}
	\psset{unit=0.66cm}
	\begin{pspicture}(-1,-1)(6.5,6.5)
		\def\xm{4.243} \def\ym{4.243}
		\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0,6)(0,0)(6,0)
		\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=ForestGreen,linestyle=dashed](\xm,0)(\xm,\ym)(0,\ym)
		\psarc[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,0){6}{0}{90}
		\psdots[linecolor=purple,dotsize=4pt](0,0)(6,0)(0,6)(\xm,0)(\xm,\ym)(0,\ym)
		\uput[dl](0,0){\point{A}}\uput[dr](6,0){\point{B}}\uput[ul](0,6){\point{C}}
		\uput[d](\xm,0){\point{M}}\uput[ur](\xm,\ym){\point{N}}\uput[l](0,\ym){\point{P}}
	\end{pspicture}
\end{center}

\vfill{}

\titrexo{Compléments}

\medskip

Voilà la manière algébrique de \og démontrer \fg{} que le maximum est atteint en $x=3\sqrt{2}$, mais cela nécessite des outils qui ne seront vus que l'année prochaine, donc c'est donné juste à titre indicatif et sans rédaction rigoureuse !

$\bullet~~f'(x)=1 \times \sqrt{36-x^2} + \dfrac{-2x}{2\sqrt{36-x^2}} \times x = \dfrac{36-x^2-x^2}{\sqrt{36-x^2}}=\dfrac{36-2x^2}{\sqrt{36-x^2}}$

\smallskip

$\bullet~~36-2x^2=0 \ssi 2x^2=36 \ssi x^2=18 \Rightarrow x=\sqrt{18}=\sqrt{9 \times 2}=3\sqrt{2} \approx 4,2426$

\end{document}