\documentclass[a4paper, 11pt]{article}

\usepackage{cp-sujet}
\newcommand{\nomfichier}{[CHAP05GT2] Vecteurs}

\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}

\pdfinfo{
 /Author (Pierquet)
 /Title (\nomfichier)
}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{Lycée Philippe Lebon}}
\rhead{\entete{2GT2 - Chapitre 05}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Vecteurs}

\section{Translation et vecteurs}

\subsection{Translation}

\defi{
Soient $A$ et $B$ deux points du plan

Lorsque, à tout point $M$, on associe l'unique point $M'$ tel que les segments $[AM']$ et $[BM]$ ont le même milieu, on dit que $M'$ est l'image de $M$ par la \textbf{translation} qui transforme $A$ et $B$
}

\bigbreak

\rmq[s]{
$\bullet~~$Par convention, le milieu de $[AA]$ est le point $A$

$\bullet~~$Pour construire le point $M'$, on peut tracer le parallélogramme $ABM'M$ (éventuellement aplati)
}

\bigbreak

\voc{
À la translation qui transforme $A$ et $B$, on peut associer le \textbf{vecteur} $\vekt{AB}$
}

\bigbreak

\rmq{
La notion de vecteur est apparu vers 1830, dans \textit{Méthode des équipollences} de Giusto Bellavitis (méthématicien italien)
}

\bigbreak

\nota{
Lorsque $A$ et $B$ sont distincts, le vecteur $\vekt{AB}$ est représenté par une flèche allant du point $A$ jusqu'au point $B$
}

\subsection{Égalité de deux vecteurs}

\defi{
Soient quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$

Les vecteurs $\vekt{AB}$ et $\vekt{CD}$ sont égaux signifie que $D$ est l'image de $C$ par la translation de vecteur $\vekt{AB}$

On note $\vekt{AB}=\vekt{CD}$
}

\bigbreak

\prop[s]{
Soient quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$

$\bullet~~\vekt{AB}=\vekt{CD}$ si et seulement si les segments $[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu

$\bullet~~\vekt{AB}=\vekt{CD}$ si et seulement si le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme
}

\bigbreak

\prop{
Soient $A$ et $B$ deux points distincts

Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ si et seulement si $\vekt{AI}=\vekt{IB}$
}

\subsection{Représentant d'un vecteur}

\defi[s]{
Un vecteur a une infinité de \textbf{représentants}, c'est-à-dire des vecteurs qui lui sont égaux mais qui ne sont pas donnés par les mêmes points

On peut donc nommer un représentant \og générique \fg{} par une seule lettre $\vekt{u}$

Le vecteur $\vekt{AB}$ a pour origine $A$ et pour extrémité le point $B$

Le vecteur dont les représentants sont $\vekt{AA}$, $\vekt{BB}$, ... est appelé \textbf{vecteur nul}, et on le note $\vekt{0}$ 
}

\section{Vecteurs dans un repère}

\subsection{Coordonnées dans un repère}

\cadre{
Dans un repère $(O\;\,I\,,\,J)$, on considère un vecteurs $\vekt{u}$ et deux points tels que $\vekt{u}=\vekt{AB}$

Il existe un unique réprésentant d'origine $O$ de $\vekt{u}$, son extrémité est le sommet $M$ du para. $ABMO$
}

\bigbreak

\defi{
Les coordonnées d'un vecteur $\vekt{u}$ dans un repère $(O\;\,I\,,\,J)$ sont les coordonnées de l'unique point $M$ tel que $\vekt{OM}=\vekt{u}$
}

\bigbreak

\nota{
Les coordonnées d'un vecteur se notent $\vekt{u} \coordpl{x}{y}$ ou $\vekt{u} \coordeux{x}{y}$
}

\bigbreak

\prop[s]{
Dans un repère, les coordonnées du vecteur $\vekt{A}$ sont $\coordeux{x_B-x_A}{y_B-y_A}$

Les coordonnées du vecteur nul sont $\coordeux{0}{0}$
}

\bigbreak

\methode{
On peut vérifier les coordonnées d'un vecteur par lecture graphique (décalage vertical, horizontal)
}

\subsection{Égalité de deux vecteurs}

\prop{
On considère dans un repère les vecteurs $\vekt{u} \coordeux{x}{y}$ et $\vekt{v} \coordeux{x'}{y'}$, alors $\vekt{u}=\vekt{v}$ équivaut à $\begin{dcases}x=x' \\ y=y' \end{dcases}$
}

\bigbreak

\rmq{
Autrement dit, deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées dans un repère
}

\section{Opérations sur les vecteurs}

\subsection{Relation vectorielle}

\methode{
Pour déterminer les coordonnées d'un point défini par une relation vectorielle, on commence par noter $\coordpl{x}{y}$ les coordonnées de ce point, et de traduire la relation vectorielle par deux équations
}

\subsection{Somme}

\defi{
Soient $\vekt{u}$ et $\vekt{v}$ deux vecteurs

La somme des vecteurs $\vekt{u}$ et $\vekt{v}$, notée $\vekt{u}+\vekt{v}$, est le vecteur associé à la translation résultant de l'enchaînement des translations de vecteurs $\vekt{u}$ et $\vekt{v}$
}

\bigbreak

\prop[s]{
Pour tous points $A$, $B$, $C$ et $D$ du plan :

$\bullet~~\vekt{AB}+\vekt{BC}=\vekt{AC}$ \hfill{}\textbf{RELATION DE CHASLES}

$\bullet~~\vekt{AB}+\vekt{AC}=\vekt{AD}$ ssi $ABDC$ est un parallélogramme
}

\bigbreak

\methode{
Pour construire un point défini par une relation vectorielle, on place \og bout à bout \fg{} les vecteurs
}

\bigbreak

\prop[s]{
Pour tous vecteurs $\vekt{u}$, $\vekt{v}$ et $\vekt{w}$ on a :

$\bullet~~\vekt{u}+\vekt{v}=\vekt{v}+\vekt{u}$

$\bullet~~\left( \vekt{u}+\vekt{v} \right) + \vekt{w} = \vekt{u}+\vekt{v}+\vekt{w}$

$\bullet~~\vekt{u}+\vekt{0}=\vekt{u}$
}

\bigbreak

\rmq{
D'après la relation de Chasles, on a $\vekt{AB}+\vekt{BA}=\vekt{AA}=\vekt{0}$

Donc on dit que $\vekt{BA}$ est l'opposé du vecteur $\vekt{AB}$, et on note $\vekt{BA}=-\vekt{AB}$
}

\bigbreak

\defi[s]{
L'opposé du vecteur $\vekt{u}$ est le vecteur noté $-\vekt{u}$ tel que $\vekt{u}+\left( - \vekt{u} \right) = \vekt{0}$

La différence des vecteurs $\vekt{u}$ et $\vekt{v}$, noté $\vekt{u}-\vekt{v}$, est le vecteur $\vekt{u}+\left( - \vekt{v} \right)$
}

\bigbreak

\prop{
Dans un répère, les coordonnées de $\vekt{u}+\vekt{v}$ sont $\coordeux{x+x'}{y+y'}$, celles de $-\vekt{u}$ sont $\coordeux{-x}{-y}$
}

\subsection{Multiplication par un réel}

\defi{
Dans un repère, on considère le vecteur $\vekt{u} \coordeux{x}{y}$ et un réel $k$

$k \vekt{u}$ est le vecteur de coordonnées $\coordeux{kx}{ky}$ dans ce repère
}

\bigbreak

\defi{
Deux vecteurs non nuls $\vekt{u}$ et $\vekt{v}$ sont \textbf{colinéaires} signifie qu'il existe un réel $k$ tel que $\vekt{v}=k\vekt{u}$

Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur
}

\bigbreak

\rmq[ - Méthode]{
Dans un repère les coordonnées de vecteurs colinéaires sont proportionnelles
}

\bigbreak

\prop[s - Applications de la colinéarité]{
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan, distincts deux à deux

$\bullet~~$Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont \textbf{parallèles} ssi les vecteurs $\vekt{AB}$ et $\vekt{CD}$ sont colinéaires

$\bullet~~$Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés ssi les vecteurs $\vekt{AB}$ et $\vekt{AC}$ sont colinéaires
}

\bigbreak

\rmq{
Si $\vekt{AI}=\dfrac{1}{2}\vekt{AB}$, alors $I$ est le milieu de $[AB]$
}

\end{document}