\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
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\newcommand{\nomfichier}{[2GT.CHAP02] Repérage dans le plan}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Chapitre 02}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Repérage dans le plan et configurations}

\section{Coordonnées d'un point dans le plan}

\subsection{Repère du plan}

\defi{
Définir un \textbf{repère}, c'est donner trois points O, I et J non alignés dans un ordre précis

On note $\left(O\, ; \, I\, , \, J\right)$ ce repère

$\bullet~~$le point O est appelé \textbf{origine} du repère

$\bullet~~$la droite $(OI)$ est l'axe des abscisses, orienté de O vers I ; la longueur OI indique l'unité sur cet axe

$\bullet~~$la droite $(OJ)$ est l'axe des ordonnées, orienté de O vers J ; la longueur OJ indique l'unité sur cet axe
}

\espacepara

\rmq{
Les coordonnées d'un point sont toujours écrites dans le même ordre

Dans tout repère $\left(O\, ; \, I\, , \, J\right)$, on a $O \coordpl{0}{0}$, $I\coordpl{1}{0}$ et $I\coordpl{0}{1}$
}

\espacetitre

\subsection{Repères particuliers}

\defi{
On a les cas particuliers suivants :

$\bullet~~$si OIJ est rectangle en O, le repère $\left(O\, ; \, I\, , \, J\right)$ est dit \textbf{orthogonal}

$\bullet~~$si OIJ est isocèle en O, le repère $\left(O\, ; \, I\, , \, J\right)$ est dit \textbf{normé}

$\bullet~~$si OIJ est isocèle et rectangle en O, le repère $\left(O\, ; \, I\, , \, J\right)$ est dit \textbf{orthonormal} ou \textbf{orthonormé}
}

\espacetitre

\section{Calculs}

\subsection{Milieu}

\prop{
Dans le plan muni d'un repère, on note $\left(x_A\,;\,y_A \right)$ et $\left(x_B\,;\,y_B \right)$ les coordonnées de A et de B

Les coordonnées du milieu du segment [AB] sont donés par la formule $\left(  \dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$
}

\espacepara

\rmq{
Ces formules sont valables dnas tout type de repère
}

\espacetitre

\subsection{Distance entre deux points}

\prop{
Dans le plan muni d'un repère \textbf{orthonormé}, on note $A\left(x_A\,;\,y_A \right)$ et $B\left(x_B\,;\,y_B \right)$

La distance entre les points A et B est notée par $AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}$.
}

\newpage

\section{Configurations du plan}

\subsection{Triangles et cercles}

\defi[s et propriétés]{
Médiatrices et cercle circonscrit // Hauteurs et orthocentre

Médianes et centre de gravité // Bissectrices et cercle inscrit
}

\espacepara

\prop[ de Pythagore]{
Le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si $BC^2=AB^2+AC^2$
}

\espacepara

\thm[ de Thalès]{
Soient A, B et C alignés et distincts deux à deux ; et soient $A'$, $B'$ et $C'$ alignés et distincts deux à deux

Si les droites $(BB')$ et $(CC')$ sont parallèles alors $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AB'}{AC'}=\dfrac{BB'}{CC'}$

Et sa réciproque
}

\espacepara

\defi{
Soit $r$ un réel strictement positif

Le point M appartient au cercle de centre O et de rayon $r$ ssi $OM=r$
}

\espacepara

\prop{
Le point M appartient au cercle de diamètre [AB], privé de A et de B, si et seulement si MAB est rectangle en M	
}

\espacetitre

\subsection{Quadrilatères et symétrie}

\prop[s]{
Parallèlogramme // côtés opposées parallèles // intersection diagonale au milieu

Rectangle // parallèlogramme et angle droit // diagonales de même longueur

Losange // quatre côtés de même longueur //	diagonales perpendiculaires

Carré // quatre côtés de même longueur et angle droit // diagonales perpendiculaires et de même longeur
}

\espacetitre

\subsection{Symétries}

\defi{
Symétrie axiale // Symétrie centrale
}

\espacepara

\prop[s]{
Une symétrie conserve les longeurs

Une symétrie transforme une droite en droite et un cercle en cercle

Une symétrie conserve l'alignement, le parallélisme, les angles et les aires
}

\end{document}