\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
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\newcommand{\nomfichier}{[2GT.DM15] Second degre}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
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\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre avant le ...}}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Mai 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{}}
\rfoot{\pied{}}

\thispagestyle{entetedm}

\grandtitre{DM15 - Second degré, problème de synthèse}

\nomprenom

\bigskip

Soient $f$ et $g$ deux fonctions polynômes du second degré définies sur $\R$ par : \[ f(x)=0,5x^2 \quad \text{et} \quad g(x)=-0,5x^2+x+2.\]
On note $\courbe{f}$ et $\courbe{g}$ leurs courbes représentatives dans un repère orthogonal.

\begin{enumerate}
	\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $g(x)=-0,5(x-1)^2+2,5$.
		\item En déduire le tableau de variations de $g$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
	\item Tracer, à l'aide de la calculatrice (menu \texttt{TABLE} par exemple) les courbes $\courbe{f}$ et $\courbe{g}$ dans le repère orthogonal suivant (l'unité en ordonnée est à préciser).
	\begin{center}
		\defgrille{-3}{3}{0.5}{0.25}{-2}{3}{0.5}{0.25}
		\psset{unit=2cm,tickwidth=1.5pt,algebraic=true}
		\begin{pspicture}(-3,-2)(3,3)
			\grilles{linewidth=0.4pt,linecolor=orange}
			\grillep{linewidth=0.75pt,linecolor=orange}
			\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5,labels=x]{->}(0,0)(-3,-2)(3,3)
			%\psplot{-3}{3}{0.5*x^2}
			%\psplot{-3}{3}{-0.5*x^2+x+2}
		\end{pspicture}
	\end{center}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$.
		\item Résoudre par le calcul l'équation $f(x)=g(x)$.
		\item Résoudre algébriquement l'inéquation $f(x)>g(x)$.
		\item Interpréter graphiquement les deux résultats précédents.
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $g(x)=-0,5\left[(x-1)^2-5\right]$.
		\item En déduire une factorisation de $g(x)$ sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$.
		
		\hfill{}{\footnotesize On pourra utiliser -- judicieusement -- le fait que $5=\sqrt{5}^2$}
		\item En utilisant la forme de $g(x)$ la plus adaptée, résoudre par le calcul l'équation $g(x)=0$.
		
		Interpréter graphiquement le résultat.
		\item Résoudre algébriquement l'inéquation $g(x)>0$ puis interpréter graphiquement le résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{document}