\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\usepackage[petit]{cp-sujet}
\usepackage{wasysym}
\newcommand{\nomfichier}{[2GT.DM16] Second degre - Correction}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfstartview=FitH}
\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre avant le ...}}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Juin 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Correction du DM16}

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $(10-x)(x-50)=10x-500-x^2+50x=-x^2+6x-500=f(x)$ \checked
		\item Cette écriture de $f(x)$ est la forme \textit{factorisée}
		\item Pour résoudre l'inéquation proposée, on va utilisée la forme factorisée (tds car produit et zéro) :
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit{$x$/1,$10-x$/1,$x-50$/1,$f(x)$/1}{$-\infty$,$10$,$50$,$+\infty$}
				\draw[fill=red!25,fill opacity=0.75](N23) rectangle (N34);
				\tkzTabLine{,+,z,-,t,-,}
				\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
				\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		Ainsi $\mathcallig{S}=\intervOO{10}{50}$
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $-(x-30)^2+400=-(x^2-60x+900)+400=-x^2+60x-900+400=-x^2+60x-500=f(x)$ \checked
		\item Cette écriture de $f(x)$ est la forme \textit{canonique}
		\item Pour établir le tdv de $f$, on utilise cette forme canonique : $\alpha=30$, $\beta=400$ et $a=-3$ donc $\wedge$
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/1,$f$/2}{$-\infty$,$30$,$+\infty$}
			\tkzTabVar{-/$ $,+/$400$,-/$ $}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\item De ce fait, la fonction $f$ admet un maximum, 400, atteint en $x=30$
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour 40 hectolitres fabriqués, le cout de fabrication est estimé à \np{1700} milliers d'euros, soit \np{1700000}\,\euro{}
		\item Pour obtenir un coût total de fabrication de 1~300 milliers d’euros, il faut produire environ 34~hL  
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $C(20)=20^2-10\times20+500=400-200+500=700$
		\item On a $C(x)=500 \ssi x^2-10x+\cancel{500}=\cancel{500} \ssi x^2-10x=0 \ssi x(x-10)=0 \ssi \mathcallig{S}=\left\lbrace 0\,;\,10 \right\rbrace$ par équation produit
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Chaque hectolitre est vendu 50~000 euros, soit 50 milliers d'euros
		
		Ainsi pour $x$ hL de produits vendus, la recette (en milliers) est $R(x)=50x$
		
		La fonction $R$ étant une fonction affine (linéaire), sa courbe est une droite (passant par l'origine)
		\item On trace la droite représentant R en utilisant l'origine et par exemple le point $\coordpl{20}{1000}$
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour réaliser un bénéfice positif, on note les abscisses des points de la droite (recette) qui sont au-dessus de la courbe (coût)
		
		On lit que la plage de bénéfice se situe pour des quantités comprises entre 10 et 50~hL
		\item On a $B(x)=R(x)-C(x)=50x-(x^2-10x+500)=50x-x^2+10x-500=-x^2+60x-500=f(x)$ !
		
		NB : grâce à la partie \textbf{A}, l'étude du bénéfice s'obtient grâce à l'étude de la fonction $f$
		\item 
		\begin{itemize}
			\item Pour réaliser un bénéfice positif, on cherche à résoudre $B(x)>0$ soit $f(x)>0$
			
			La question \textbf{A.}\ptno{1}\pta{c} nous donne des quantités comrpises entre 10 et 50~hL
			\item Le bénéfice maximal s'obtient en déterminant le maximum de la fonction $f$
			
			La question \textbf{A.}\ptno{2}\pta{d} nous donne un bénéfice maximal de \np{400000}\,\euro, obtenu pour la vente de 30~hL
		\end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

~

\begin{center}
	\defgrille{0}{60}{10}{5}{0}{3600}{200}{100}
	\psset{xunit=0.25cm,yunit=0.007cm,algebraic=true,tickwidth=1.25pt,arrowscale=2}
	\begin{pspicture}(0,0)(60,3600)
		\grilles{linewidth=0.4pt,linecolor=orange}
		\grilles{linewidth=0.6pt,linecolor=orange}
		\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=200]{->}(0,0)(60,3600)
		\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{60}{x^2-10*x+500}
		\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{0}{60}{50*x}
		\rput(57,3450){\LARGE \blue $\courbe{f}$}
		\rput(57,2750){\LARGE \red $\mathcallig{R}$}
		\uput[l](0,700){\small \textcolor{purple}{700}}
		\psline[ArrowInside=->,linewidth=1.5pt,linecolor=purple,linestyle=dashed](20,0)(20,700)
		\psline[ArrowInside=->,linewidth=1.5pt,linecolor=purple,linestyle=dashed](20,700)(0,700)
		\uput[l](0,1300){\small \textcolor{ForestGreen}{1~300}}
		\uput[d](33.723,0){\small \textcolor{ForestGreen}{$\approx34$}}
		\psline[ArrowInside=->,linewidth=1.5pt,linecolor=ForestGreen,linestyle=dashed](0,1300)(33.723,1300)
		\psline[ArrowInside=->,linewidth=1.5pt,linecolor=ForestGreen,linestyle=dashed](33.723,1300)(33.723,0)
		%bénéfice
		\psdots[dotscale=2,linecolor=gray](10,500)(50,2500)
		\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=gray]{<->}(10,3000)(50,3000)
		\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=gray,linestyle=dashed](10,500)(10,3000)
		\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=gray,linestyle=dashed](50,2500)(50,3000)
		\uput[u](30,3000){\textcolor{gray}{Plage de bénéfice}}
		%bmax
		\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=Brown,linestyle=dashed]{<->}(30,1100)(30,1500)
		\uput[ur](30,1300){\textcolor{Brown}{$B_{\text{max}}$}}
	\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}