\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
\usepackage[pythontex]{cp-sujet}
\newcommand{\nomfichier}{[2GT.DM11] Situation de probas Correction}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfstartview=FitH}
\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre avant le ...}}}
\usepackage{epsdice}
\usepackage{units}
\newcommand{\somme}[3]{{\red #1} + {\green #2} + {\blue #3}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Mars 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Correction du DM11}

\titrexo{Partie A - La démarche de Bob }\textcolor{titrebleu}{\hrulefill}\includegraphics[height=12pt]{graphics/dm11_de}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item L'univers de Bob est $\Omega_B = \left\lbrace 3\,;\,4\,;\,\dots\,;\,17\,;\,18\right\rbrace$ avec pour probabilités respectives $\dfrac{1}{16}$ (équiprobabilité)
	\item De ce fait, $p_B=p(S=9)+p(S=10)=\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{2}{16}=\dfrac{1}{8}$
\end{enumerate}

\titrexo{Partie B - La démarche de Toscan }\textcolor{titrebleu}{\hrulefill}\includegraphics[height=12pt]{graphics/dm11_de}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item On obtient les résultats suivants :
	{\footnotesize \begin{center}
			\begin{tabular}{|M{4cm}|*{8}{M{1.1cm}|}}
				\hline
				$S$ & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
				Sommes y conduisant & $1+1+1$ & $1+1+2$ & $1+1+3$ $1+2+2$ & $1+1+4$ $1+2+3$ $2+2+2$ & $1+1+5$ $1+2+4$ $1+3+3$ $2+2+3$ & $1+1+6$ $1+2+5$ $1+3+4$ $2+2+4$ $2+3+3$ & $1+2+6$ $1+3+5$ $1+4+4$ $2+2+5$ $2+3+4$ $3+3+3$ & $1+3+6$ $1+4+5$ $2+2+6$ $2+3+5$ $2+4+4$ $3+3+4$\\ \hline
				Nb de possibilités & 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 6 \\ \hline
			\end{tabular}
		
			\begin{tabular}{|M{4cm}|*{8}{M{1.1cm}|}}
				\hline
				$S$ & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 \\ \hline
				Sommes y conduisant & $1+4+6$ $1+5+5$ $2+3+6$ $2+4+5$ $3+3+5$ $3+4+4$ & $1+5+6$ $2+4+6$ $2+5+5$ $3+3+6$ $3+4+5$ $4+4+4$ & $1+6+6$ $2+5+6$ $3+4+6$ $3+5+5$ $4+4+5$ & $2+6+6$ $3+5+6$ $4+4+6$ $4+5+5$ & $3+6+6$ $4+5+6$ $5+5+5$ & $4+6+6$ $5+5+6$ & $5+6+6$ & $6+6+6$ \\ \hline
				Nb de possibilités & 6 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 1 \\ \hline
			\end{tabular}
	\end{center}}
	On compte le nombre total d'issues : $1+1+2+3+\dots+3+2+1+1=56$
	\item La probabilité de l'évènement \og $S=9$ \fg{} est $p_9=\dfrac{6}{56}$
	
	La probabilité de l'évènement \og $S=10$ \fg{} est $p_{10}=\dfrac{6}{56}$
	
	Ainsi la probabilité $p_T$ de gagner à ce jeu, selon Toscan, est $p_T=\dfrac{6}{56}+\dfrac{6}{56}=\dfrac{12}{56}=\dfrac{3}{14}$
\end{enumerate}

\titrexo{Partie C - La démarche de Galiléo }\textcolor{titrebleu}{\hrulefill}\includegraphics[height=12pt]{graphics/dm11_de}

\begin{enumerate}
	\item Pour l'univers $\Omega_G$, on peut imaginer un arbre de choix :
	
	\og {\red 6 choix pour le dé rouge} \fg{} $\times$ \og {\green 6 choix dé vert} \fg{} $\times$ \og {\blue 6 choix pour  bleu} \fg{} soit ${\red 6}\times {\green 6}\times {\blue 6}=216$ choix
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère une somme composée de trois nombres différents, par exemple $1+2+3$ :
		
		\tabula{}on peut noter que $\somme{1}{2}{3}=\somme{1}{3}{2}=\somme{2}{1}{3}=\somme{2}{3}{1}=\somme{3}{1}{2}=\somme{3}{2}{1}$
		
		Ainsi 6 triplets différents conduisent à la même somme de $1+2+3$ !
		\item De même avec un double, par exemple $1+1+2$ :
		
		\tabula{}on peut noter que $\somme{1}{1}{2}=\somme{1}{2}{1}=\somme{2}{1}{1}$
		
		Ainsi 3 triplets différents conduisent à la même somme de $1+1+2$ !
	\end{enumerate}
	\item Pour déterminer le nombre total de triplets conduisant à \og $S=9$ \fg{}, on va utiliser les sommes de Toscan et compenser avec les résultats précédents :
	
	\tabula{}il y a 3 sommes avec trois nombres différents $\Rightarrow 3 \times 6 = 18$ triplets
	
	\tabula{}il y a 2 sommes avec deux nombres identiques $\Rightarrow 2 \times 3 = 6$ triplets
	
	\tabula{}il y a 1 somme avec trois nombres identiques $\Rightarrow 1$ triplet
	
	Ainsi \og $S=9$ \fg{} contient $18+6+1$ soit 25 issues
	
	\smallskip
	
	Pour déterminer le nombre total de triplets conduisant à \og $S=10$ \fg{}, on va utiliser les sommes de Toscan et compenser avec les résultats précédents :
	
	\tabula{}il y a 3 sommes avec trois nombres différents $\Rightarrow 3 \times 6 = 18$ triplets
	
	\tabula{}il y a 3 sommes avec deux nombres identiques $\Rightarrow 3 \times 3 = 9$ triplets
	
	Ainsi \og $S=10$ \fg{} contient $18+6+1$ soit 27 issues
	
	\smallskip
	
	De ce fait la probabilité $p_G$ de gagner selon Galiléo est $p_G=p_9+p_{10}=\dfrac{25}{216}+\dfrac{27}{216}=\dfrac{52}{216}=\dfrac{13}{54}$
\end{enumerate}

\titrexo{Partie D - Argumenter sur un jeu existant }\textcolor{titrebleu}{\hrulefill}\includegraphics[height=12pt]{graphics/dm11_de}

\begin{enumerate}
	\item En utilisant (de manière classique) un tableau à double entrée, on obtient la loi de probas pour la somme de deux dés :
	\begin{center}
		\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
		{\huge \begin{tabularx}{8cm}{|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
				\hline 
				& \epsdice{1} & \epsdice{2} & \epsdice{3} & \epsdice{4} & \epsdice{5} & \epsdice{6} \\ \hline
				\epsdice[black]{1} & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline
				\epsdice[black]{2} & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline
				\epsdice[black]{3} & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
				\epsdice[black]{4} & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
				\epsdice[black]{5} & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline
				\epsdice[black]{6} & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline
		\end{tabularx}}
	\end{center}
	\begin{center}
		\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
		\begin{tabularx}{15cm}{|X|*{11}{M{0.75cm}|}}
			\hline
			Issue & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline
			Proba & $\nicefrac{1}{36}$ & $\nicefrac{2}{36}$ & $\nicefrac{3}{36}$ & $\nicefrac{4}{36}$ & $\nicefrac{5}{36}$ & $\nicefrac{6}{36}$ & $\nicefrac{5}{36}$ & $\nicefrac{4}{36}$ & $\nicefrac{3}{36}$ & $\nicefrac{2}{36}$ & $\nicefrac{1}{36}$ \\ \hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	Ce qui justifie la forme triangulaire, à savoir que la hauteur des colonnes est \og proportionnelle \fg{} à la probabilité 
	\item Avec le même genre de jeu à $3 \times 3$ dés, on aurait un plateau de forme triangulaire également
\end{enumerate}

\newpage

\titrexo{Compléments : Simulation 1 }\textcolor{titrebleu}{\hrulefill}\includegraphics[height=12pt]{graphics/dm11_de}

\medskip

On peut \og simuler \fg{} l'expérience du lancer de trois dés avec Python pour estimer la probabilité de gagner (tomber sur 9 ou 10) :

\begin{scriptpython}
\begin{pyverbatim}[][numbers=left]
from math import *
from pylab import *
from random import *
def galileo(n):
	resultats = []
	plt.axis([0, n, 0, 1])
	plt.grid()
	for i in range(1,n+1):
		resultats.append(randint(1,6) + randint(1,6) + randint(1,6))
		proba_gagner = (resultats.count(9)+resultats.count(10))/i
		plt.plot(i,proba_gagner, 'rx')
	return plt.show()
\end{pyverbatim}
\end{scriptpython}

\begin{pyconcode}
from math import *
from pylab import *
from random import *
def galileo(n):
	resultats = []
	plt.axis([0, n*1.1, 0, 1])
	plt.plot([0, n*1.1], [1/8, 1/8], 'b-')
	plt.plot([0, n*1.1], [3/14, 3/14], 'k-')
	plt.plot([0, n*1.1], [13/54, 13/54], 'm-')
	plt.text(n*1.105,1/8,r'$p_B$',color='b')
	plt.text(n*1.105,3/14,r'$p_T$',color='k')
	plt.text(n*1.105,13/54,r'$p_G$',color='m')
	plt.grid()
	for i in range(1,n+1):
		resultats.append(randint(1,6) + randint(1,6) + randint(1,6))
		proba_gagner = (resultats.count(9)+resultats.count(10))/i
		plt.plot(i,proba_gagner, 'rx')
	plt.savefig('dm11_stabilisation')	
	return plt.show()

\end{pyconcode}

\medskip

\begin{pyconsole}[][framesep=3mm,frame=single,label={[\footnotesize Début de la console]\footnotesize Fin de la console}]
galileo(1000)
13/54
\end{pyconsole}

\begin{center}\IG{algo/dm11_stabilisation}\end{center}

La \og différence \fg{} entre les modèles de Toscan et de Galiléo est faible, ce qui explique -- qu'à l'époque -- ce n'était pas évident de comprendre \og l'erreur \fg{}\dots

\newpage

\titrexo{Compléments : Simulation 2 }\textcolor{titrebleu}{\hrulefill}\includegraphics[height=12pt]{graphics/dm11_de}

\medskip

On peut \og simuler \fg{} l'expérience du lancer de trois dés avec Python pour visualiser la répartition (distribution) des probabilités :


\begin{scriptpython}
\begin{pyverbatim}[][numbers=left]
from math import *
from pylab import *
from random import *
def troisdes(n):
	plt.axis([2, 19, 0, 0.15])
	plt.grid()
	resultats = []
	for i in range(n):
		resultats.append(randint(1,6) + randint(1,6) + randint(1,6))
	for i in range(3,19):
		freq_i=resultats.count(i)/n
		plt.plot([i, i], [0, freq_i], 'r-', lw=10)
	return plt.show()
\end{pyverbatim}
\end{scriptpython}

\begin{pyconcode}
from math import *
from pylab import *
from random import *
def troisdes(n):
	plt.axis([2, 19, 0, 0.15])
	plt.grid()
	resultats = []
	for i in range(n):
		resultats.append(randint(1,6) + randint(1,6) + randint(1,6))
	for i in range(3,19):
		freq_i=resultats.count(i)/n
		plt.plot([i, i], [0, freq_i], 'r-', lw=10)
	plt.savefig('StraightLine.png')
	return plt.show()

\end{pyconcode}

\medskip

\begin{pyconsole}[][framesep=3mm,frame=single,label={[\footnotesize Début de la console]\footnotesize Fin de la console}]
troisdes(10000)
\end{pyconsole}

\begin{center}\IG{algo/StraightLine}\end{center}

\end{document}