\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
\usepackage{cp-sujet}
\usepackage{wasysym}
\newcommand{\nomfichier}{[2GT4.DS08] Probas, second degre - Correction}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfstartview=FitH}
\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre le ...}}}
\fancypagestyle{enteteds}{\fancyhead[L]{\entete{Durée : 1 heure}}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT4 - Juin 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Correction du DS08}

\exonum{3}\strut\lignetitre %exo1

\smallskip

\begin{center}
	\psset{tickwidth=1.25pt,algebraic=true}
	\defgrille{-5}{5}{1}{0.5}{-5}{5}{1}{0.5}
	\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
		\grilles{linewidth=0.5pt,linecolor=orange}
		\grillep{linewidth=0.75pt,linecolor=orange}
		\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-5)(5,5)
		\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-5}{1.5}{-0.5*(x+2)^2+1}
		\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-5}{2}{0.25*(x+2)^2+1}
		\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=purple,plotpoints=200]{1.25}{4.74}{-x^2+6*x-11}
		\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=ForestGreen,plotpoints=200]{-0.44}{3.44}{2*(x-1.5)^2-2.5}
		\rput(-4,2.75){\large \textcolor{blue}{$\mathcallig{P}_1$}}
		\rput(-4,-1.83){\large \textcolor{red}{$\mathcallig{P}_3$}}
		\rput(4.5,-3){\large \textcolor{purple}{$\mathcallig{P}_4$}}
		\rput(3.5,2.5){\large \textcolor{ForestGreen}{$\mathcallig{P}_2$}}
	\end{pspicture}
\end{center}
On peut proposer le protocole suivant :
\begin{itemize}
	\item on repère, si on a la forme canonique, les valeurs de$a$, $\alpha$ et $\beta$
	\item le signe de $a$ donne l'orientation de la parabole
	\item les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ donnent les coordonnées du sommet de la parabole
\end{itemize}
\begin{enumerate}
	\item $f(x)=-0,5(x+2)^2+1$ : forme canonique $\checked$, $a=-0,5 \ominus$ donc $\wedge$ et le sommet $S(-2\,;\,1)$
	
	\hfill{}la parabole représentant $f$ est donc \textcolor{red}{$\mathcallig{P}_3$}
	\item $g(x)=2(x-1,5)^2-2,5$ : forme canonique $\checked$, $a=2 \oplus$ donc $\vee$ et le sommet $S(1,5\,;\,-2,5)$
	
	\hfill{}la parabole représentant $g$ est donc \textcolor{ForestGreen}{$\mathcallig{P}_2$}
	\item $k(x)=0,25(x+2)^2+1$ : forme canonique $\checked$, $a=0,25 \oplus$ donc $\vee$ et le sommet $S(-2\,;\,1)$
	
	\hfill{}la parabole représentant $g$ est donc \textcolor{blue}{$\mathcallig{P}_1$}
	\item $h(x)=-x^2+6x-11$ : n'est pas sous forme canonique, mais par déduction\dots
	
	\hfill{}la parabole représentant $g$ est donc \textcolor{purple}{$\mathcallig{P}_4$}
\end{enumerate}

\exonum{6}\strut\lignetitre %exo2

\smallskip

\begin{center}
	\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
	\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{6}{Y|}}
		\cline{2-6}
		\multicolumn{1}{c|}{} & M & PC & SVT & ISN & Total \\ \hline
		Garçon & 18 & 12 & 10 & 14 & 54 \\ \hline
		Fille &	18 & 5 & 7 & 6 & 36 \\ \hline
		Total & 36 & 17 & 17 & 20 & 90 \\ \hline
	\end{tabularx}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item On a directement $p(M)=\dfrac{36}{90}=0,4$
	\item On a, de même, directement $p(G)=\dfrac{54}{90}=0,6$
	\item $M \cap G$ est l'événement : \og l'élève choisi est un garçon \textbf{et} fait spé Maths \fg{} et on a $p(M \cap G)=\dfrac{18}{90}=0,2$
	\item $M \cup G$ est l'événement : \og l'élève choisi est un garçon \textbf{ou} fait spé Maths \fg{}
	
	Et on a $p(M \cup G)=p(M)+p(G)-p(M \cap G)=0,4+0,6-0,2=0,8$
	\item $\overline{M}$ est l'événement : \og l'élève choisi ne fait \textbf{pas} spé Maths \fg{} et $p(\overline{M})=1-p(M)=0,6$
	\item Parmi les 36 filles, 6 ont choisi Spé ISN, la probabilité recherchée est donc $p=\dfrac{6}{36} \approx 0,17$ à 0,01 près
\end{enumerate}

\bigskip

\exonum{7}\strut\lignetitre %exo3

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item On a $(3x-6)(x+1)=3x^2+3x-6x-6=3x^2-3x-6=f(x)$ $\checked$
	\item De même $3 \left(x - 0,5\right)^2-6,75=3\left( x^2-x+0,25\right)-6,75=3x^3-3x+0,75-6,75=3x^2-3x-6=f(x)$ $\checked$
	
	Et la forme donnée est bien la forme canonique avec $a=3$, $\alpha=0,5$ et $\beta=-6,75$
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour dresser le tableau de variations de $f$ et déterminer son minimum, on utilise la forme canonique :
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit{$x$/1,$f$/2}{$-\infty$,${0,5}$,$+\infty$}
				\tkzTabVar{+/$ $,-/${-6,75}$,+/$ $}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		Ainsi le minimum de $f$ est $-6,75$ (atteint en $x=0,5$)
		\item Pour résoudre l’inéquation $f(x) \pp 0$, on utilise la forme factorisée :
		
		\tabu{}$\bullet~~$on peut faire un tds car c'est un produit et zéro (on cherchera les $\ominus$)
		 
		\tabu{}$\bullet~~3x-6=0 \ssi x=2$ et $a=3 \oplus$ donc $\ominus\oplus$
		
		\tabu{}$\bullet~~x+1=0 \ssi x=-1$ et $a=1 \oplus$ donc $\ominus\oplus$
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/1,$3x-6$/1,$x+1$/1,$f(x)$/1}{$-\infty$,$-1$,$2$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		Ainsi $\mathcallig{S}=\intervFF{-1}{2}$
		\item Pour résoudre l’équation $f(x)=-6,75$, on va utiliser la forme canonique :
		
		$3 \left(x - 0,5\right)^2-6,75 = -6,75 \ssi 3 \left(x - 0,5\right)^2=0 \ssi \left(x - 0,5\right)^2 = 0 \ssi x=0,5$
		
		Ainsi $\mathcallig{S}=\left\lbrace 0,5 \right\rbrace$
		\item Pour déterminer les antécédents de $-6$ par $f$, on cherche à résoudre $f(x)=-6$ et on utilise la forme développée :
		
		$3x^2-3x-6 = -6 \ssi 3x^2-3x=0 \ssi x(3x-3)=0$ qui est une équation produit
		
		\tabu{}$\bullet~~x=0$ ou $3x-3=0 \ssi x=1$
		
		Ainsi $\mathcallig{S}=\left\lbrace 0\,;\,1 \right\rbrace$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exonum{4}\strut\lignetitre %exo4

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Le coût total dans le cas où l’entreprise produit 40 hectolitres par jour est donné par $C(40)=2 \times 40^2+3200=6400$ soit \np{6400}\,\euro
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour déterminer le bénéfice dans le cas où l’entreprise produit 40 hectolitres par jour :
		
		\tabu{}$\bullet~~$la recette est de $808 \times 40 = 32320$ soit \,\euro
		
		\tabu{}$\bullet~~$le coût total est de \np{6400}\,\euro
		
		Donc le bénéfice est de $32320-6400$ soit \np{25920}\,\euro
		\item Algébriquement, $B(x)=R(x)-C(x)=808x-\left( 2x^2 +3200 \right)=808x-2x^2-3200=-3x^2+808x-3200$ \checked
		\item La forme canonique proposée ($a=-2$, $\alpha=202$ et $\beta=78408$) permet de dresser le tableau :
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/1,$B$/2}{$-\infty$,${202}$,$+\infty$}
			\tkzTabVar{-/$ $,+/${78408}$,-/$ $}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		Ainsi le bénéfice maximal est de 78408\,\euro, pour 202 hectolitres 
	\end{enumerate}
	\item On a $B(x)=-2(x-202)^2+78408=2 \left[ -(x-202)^2+39204 \right] = 2 \left[ 198^2-(x-202)^2 \right]$ ce qui fait référence à IR$_3$
	
	Ainsi $B(x)=2(198-(x-202))(198+(x-202))=-2(-x+400)(x-4)$ qui est une factorisation de $B(x)$ 
\end{enumerate}

\end{document}