\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\usepackage{cp-sujet}
\newcommand{\nomfichier}{[2GT7.DS06] Probas, vecteurs, signes - Correction}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfstartview=FitH}
\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre le ...}}}
\fancypagestyle{enteteds}{\fancyhead[L]{\entete{Durée : 2 heures}}}
\usepackage{epsdice}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT7 - Avril 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Correction du DS06}

\medskip

\exonum{4,5}\strut\lignetitre

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Voilà le tableau complété :
	\begin{center}
		\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
		\begin{tabular}{|M{2cm}|M{2cm}|M{2cm}|M{2cm}|}
			\cline{2-4}
			\multicolumn{1}{c|}{}&F&G&Total \\ \hline
			A&70&80&150 \\ \hline
			D&65&35&100 \\ \hline
			Total&135&115&250 \\ \hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	\item On a directement $p(F)=\dfrac{135}{250}$, $p(G)=\dfrac{115}{250}$, $p(A)=\dfrac{150}{250}$ et $p(D)=\dfrac{100}{250}$.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item $F \cap D$ : \og L'élève est une fille qui fait allemand \fg{} et $p(F \cap D)=\dfrac{65}{250}$
		\item $G \cap D$ : \og L'élève est un garçon qui fait allemand \fg{} et $p(G \cap D)=\dfrac{35}{250}$
		\item $F \cup A$ : \og L'élève est une fille ou il fait allemand \fg{} et $p(F \cup D)=\dfrac{135+150-70}{250}=\dfrac{215}{250}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exonum{6}\strut\lignetitre

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Le diagramme \og en patates \fg{} est le suivant :
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\draw[very thick] (-4,-1) rectangle (4,4); % OMEGA
			\draw[red,very thick] (0,0) ++(135:2) circle (2.3); % T
			\draw (-3,1.5) node {\red \Large \textsf{97}};
			\draw (0.45,1.5) node {\Large \textsf{\red 4\blue8 }};
			\draw (2.5,1.5) node {\blue \Large \textsf{59}};
			\draw (-3.15,3.35) node {\red \Large \textsf{T}};
			\draw (2.85,0.38) node {\blue \Large \textsf{G}};
			\draw (3.5,3.5) node{\Large \textsf{36}};
			\draw[blue,very thick] (0,0) ++(45:2) circle (1.5); % G
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	On a directement :
	\begin{enumerate}
		\item $p(T)=\dfrac{145}{240}$
		\item $p(G)=\dfrac{107}{240}$
	\end{enumerate}
	\begin{enumerate}
		\item $T \cap G$ est l'évènement \og la personne est inscrite au golf et au tennis \fg{} et $p(T \cap G)=\dfrac{48}{240}$
		\item $T \cup G$ est l'évènement \og la personne est inscrite au golf ou au tennis \fg{}
		
		Et $p(T \cup G)=\dfrac{145}{240}+\dfrac{107}{240}-\dfrac{48}{240}=\dfrac{204}{240}$
		\item $\overline{T}$ est l'évènement \og la personne n'est pas inscrite au tennis \fg{} et $p(\overline{T})=1-\dfrac{145}{240}=\dfrac{95}{240}$
		\item $T \cap \overline{G}$ est l'évènement \og la personne est inscrite au tennis et pas au golf \fg{}
		
		Et $p(T \cap \overline{G})=\dfrac{145}{240}-\dfrac{48}{240}=\dfrac{97}{240}$
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item $p(A)=p(T \cup G)=\dfrac{204}{240}$
		\item $p(B)=1-p(\text{\og la personne en fait deux \fg{}})=1-p(T \cap G)=\dfrac{192}{240}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exonum{5,5}\strut\lignetitre

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le tableau est obtenu en additionnant les faces des deux dés :
		\begin{center}
			\renewcommand{\arraystretch}{1.05}
			{\huge \begin{tabularx}{8cm}{|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
					\hline 
					& \epsdice{1} & \epsdice{2} & \epsdice{3} & \epsdice{4} & \epsdice{5} & \epsdice{6} \\ \hline
					\epsdice[black]{1} & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline
					\epsdice[black]{2} & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline
					\epsdice[black]{3} & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
					\epsdice[black]{4} & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
					\epsdice[black]{5} & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline
					\epsdice[black]{6} & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline
			\end{tabularx}}
		\end{center}
		\item De ce fait l'ensemble des issues possibles, ou univers, est $\Omega=\left\lbrace2~;~3~;~\ldots~;~12\right\rbrace=\llbracket 2~;~12 \rrbracket$
		
		Et la loi de probabilités est :
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|L{1.5cm}|*{11}{M{0.8cm}|}}
				\hline
				Issues & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline
				Probas & $\nicefrac{1}{36}$ & $\nicefrac{é}{36}$ & $\nicefrac{3}{36}$ & $\nicefrac{4}{36}$ & $\nicefrac{5}{36}$ & $\nicefrac{6}{36}$ & $\nicefrac{5}{36}$ & $\nicefrac{4}{36}$ & $\nicefrac{3}{36}$ & $\nicefrac{2}{36}$ & $\nicefrac{1}{36}$ \\ \hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		\item Toutes les issues n'ayant pas la même probabilité, ce n'est pas une situation d'équiprobabilité
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item L’évènement $P \cap S$ correspond à \og Le résultat est pair \uline{et} il est strictement supérieur à 7 \fg{}
		
		Soit encore $P \cap S = \left\lbrace 8~;~10~;~12 \right\rbrace$
		
		On \og compte \fg{}, dans le tableau, 9 possibilités, ainsi $p(P \cap S)=\dfrac{9}{36}=\dfrac14$
		\item L’évènement $P \cup S$ correspond à \og Le résultat est pair \uline{ou} il est strictement supérieur à 7 \fg{}
		
		Soit encore $P \cup S = \left\lbrace 2~;~4~;~6~;~8~;~9~;~10~;~11~;~12 \right\rbrace$
		
		On \og compte \fg{}, dans le tableau, 24 possibilités, ainsi $p(P \cup S)=\dfrac{24}{36}=\dfrac23$
		
		\hfill{}{\small NB : on aurait pu utiliser la formule $p(P \cup S)=p(P)+p(S)-p(P \cap S)=\dfrac{18}{36}+\dfrac{15}{36}-\dfrac{9}{36}=\dfrac{24}{36}$}
		\item L’évènement $C = \overline{P \cup S}$ est l'évènement \uline{contraire} de $A \cup B$, que l'on peut traduire par \og Le résultat n'est ni pair ni strictement plus grand que 7 \fg{} soit encore \og Impair \uline{et} inférieur à 7 \fg{}
		
		On peut également écrire $C = \overline{P \cup S} = \left\lbrace 1~;~3~;~5~;~7 \right\rbrace$
		
		On utilise la formule $p(C)=p \left( \overline{P \cup S} \right) = 1 - p(P \cup S) = 1- \dfrac23=\dfrac13$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\exonum{4,5}\strut\lignetitre

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Tableau de signes de $(4x-3)(-2x + 5)$ :
	\begin{itemize}
		\item on peut car c'est un produit de facteurs $ax+b$
		\item $4x-3=0 \ssi 4x=3 \ssi x=\tfrac{3}{4}=0,75$ et $a=4\oplus$ donc le signe est $\ominus\oplus$
		\item $-2x+5=0 \ssi -2x=-5 \ssi x=\tfrac{5}{2}=2,5$ et $a=-2\ominus$ donc le signe est $\oplus\ominus$
	\end{itemize}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[double distance=3pt]
			\tkzTabInit{$x$/1,$4x-3$/1,$-2x+5$/1,expr/1}{$-\infty$,${0,75}$,${2,5}$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\item Tableau de signes de $\dfrac{50x(10x - 100)}{-x + 100}$ :
	\begin{itemize}
		\item on peut car c'est un produit/quotient de facteurs $ax+b$
		\item $50x=0 \ssi x=0$ et $a=50\oplus$ donc le signe est $\ominus\oplus$
		\item $10x-100=0 \ssi x=10$ et $a=10\oplus$ donc le signe est $\ominus\oplus$
		\item $-x+100=0 \ssi x=100$ et $a=-1\ominus$ donc le signe est $\oplus\ominus$
	\end{itemize}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[double distance=3pt]
			\tkzTabInit{$x$/1,$50x$/1,$10x-100$/1,$-x+100$/1,expr/1}{$-\infty$,${0}$,${10}$,$100$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,+,t,+,t,+,z,-,}
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,d,-,}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\item Tableau de signes de $3+\dfrac{5}{x-1}$ :
	\begin{itemize}
		\item on ne peut encore car c'est une somme\dots
		\item mais $3+\dfrac{5}{x-1}=\dfrac{3(x-1)}{x-1}+\dfrac{5}{x-1}=\dfrac{3x-3+5}{x-1}=\dfrac{3x+2}{x-1}$ et là on peut !
		\item $3x+2=0 \ssi x=\tfrac{-2}{3}$ et $a=3\oplus$ donc le signe est $\ominus\oplus$
		\item $x-1=0 \ssi x=1$ et $a=1\oplus$ donc le signe est $\ominus\oplus$
	\end{itemize}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[double distance=3pt]
			\tkzTabInit{$x$/1,$3x+2$/1,$x-1$/1,expr/1}{$-\infty$,${-\tfrac{2}{3}}$,${1}$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
			\tkzTabLine{,+,z,-,d,+,}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{enumerate}

\newpage

\exonum{8,5}\strut\lignetitre

\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
	\item les coordonnées des vecteurs $\vekt{AB}$ et $\vekt{AC}$ sont :
	\begin{itemize}
		\item $\vekt{AB} \coordeux{x_B-x_A}{y_B-y_A}$ soit $\vekt{AB} \coordeux{-1,5+2,5}{2,5-0,5}$ soit $\vekt{AB} \coordeux{1}{2}$ 
		\item $\vekt{AC} \coordeux{x_C-x_A}{y_C-y_A}$ soit $\vekt{AC} \coordeux{0,5+2,5}{-1-0,5}$ soit $\vekt{AC} \coordeux{3}{-1,5}$
	\end{itemize}
	\item Pour placer le point $D$ tel que $\vekt{AD}=\vekt{AB}+\vekt{AC}$, on part du point $A$ et on met, \og bout à bout \fg{}, les deux vecteurs $\vekt{AB}$ et $\vekt{AC}$
	\item On note $D \coordpl{x_D}{y_D}$, de sorte que :
	
	$\vekt{AD}=\vekt{AB}+\vekt{AC} \Rightarrow \coordeux{x_D+2,5}{y_D-0,5}=\coordeux{1}{2}+\coordeux{3}{-1,5}=\coordeux{4}{0,5} \Rightarrow \begin{dcases} x_D+2,5=4 \\ y_D - 0,5 = 0,5 \end{dcases} \rightarrow \begin{dcases} x_D=4-2,5=1,5 \\ y_D = 0,5 + 0,5 = 1 \end{dcases}$
	
	On a donc -- bien -- $D(1, 5~;~1)$
	\item On a directement $\vekt{AB} \coordeux{1}{2}$ et $\vekt{CD} \coordeux{1,5-0,5=1}{1+1=2}$ soit $\vekt{AB}=\vekt{CD}$
	
	On en déduit donc que le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme
	\item On va calculer les longueurs des diagonales $[AD]$ et $[BC]$ :
	\begin{itemize}
		\item $\vekt{AD}\coordeux{4}{0,5} \Rightarrow AD = \sqrt{4^2+0,5^2}=\sqrt{16,25}$
		\item $\vekt{BC}\coordeux{2}{-2,5} \Rightarrow BC = \sqrt{2^2+(-2,5)^2}=\sqrt{16,25}$
	\end{itemize}
	On peut donc en déduire que $ABDC$ est un parallélogramme ayant ses diagonales de même longueur, c'est donc un rectangle
	\item Pour placer les points demandés, on détermine le point de départ puis on met \og bout à bout \fg{} le ou les vecteurs :
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour la droite $(AB)$ :
		\begin{itemize}
			\item $x_A \neq x_B$ donc la droite $(AB)$ n'est pas verticale
			\item on va chercher son équation réduite sous la forme $y=mx+p$
			\item $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{3-1}{3-(-2)}=\dfrac25$
			\item $p$ vérifie -- grâce au point $A$ -- l'équation $1 = \dfrac25 \times (-2)+p \Rightarrow p=1+\dfrac45=\dfrac95$
			\item ainsi $(AB)$ : $y=\dfrac25x+\dfrac95$
		\end{itemize}
		\item Pour la droite $(CD)$ :
		\begin{itemize}
			\item $x_C \neq x_D$ donc la droite $(CD)$ n'est pas verticale
			\item on va chercher son équation réduite sous la forme $y=mx+p$
			\item $m=\dfrac{y_D-y_C}{x_D-x_B}=\dfrac{1-(-3)}{5-(-5)}=\dfrac{4}{10}=\dfrac25$
			\item $p$ vérifie -- grâce au point $C$ -- l'équation $-3 = \dfrac25 \times (-5)+p \Rightarrow p=-3+2=-1$
			\item ainsi $(CD)$ : $y=\dfrac25x-1$
		\end{itemize}
		\item Les droites $(AB)$ et $(CD)$ ont le même coefficient directeur, donc elles sont parallèles
	\end{enumerate}
	\item Pour savoir si les points $A$, $B$ et $T$ sont alignés, on peut tester les coordonnées de $T$ avec l'équation de $(AB)$ :
	
	\tabu{}$\dfrac25 \times x_T + \dfrac95 = \dfrac25 \times 2 + \dfrac95 = \dfrac45 + \dfrac95 = \dfrac{13}{5} \neq y_T$
	
	Donc le point $T$ n'est pas sur $(AB)$, et donc les points ne sont pas alignés
\end{enumerate}

\begin{center}
	\defgrille{-3.5}{4.5}{0.5}{0.5}{-3.5}{3}{0.5}{0.5}
	\psset{tickwidth=1pt,unit=2cm}
	\begin{pspicture}(-4,-4)(5,3.5)
		\grillep{linewidth=0.5pt,linecolor=orange,linestyle=dashed}
		\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(4.5,3)
		\psdots[dotscale=2,linecolor=blue](-2.5,0.5)(-1.5,2.5)(0.5,-1)(1.5,1)(2.5,3)(3.5,-2.5)
		\psline[arrowscale=2,linewidth=1pt,linecolor=purple,linestyle=dashed]{->}(-2.5,0.5)(-1.5,2.5)
		\psline[arrowscale=2,linewidth=1pt,linecolor=purple,linestyle=dashed]{->}(-1.5,2.5)(1.5,1)
		\psline[arrowscale=2,linewidth=1pt,linecolor=ForestGreen,linestyle=dashed]{->}(-2.5,0.5)(0.5,-1)
		\psline[arrowscale=2,linewidth=1pt,linecolor=ForestGreen,linestyle=dashed]{->}(0.5,-1)(1.5,1)
		\psline[arrowscale=2,linewidth=1pt,linecolor=ForestGreen,linestyle=dashed]{->}(1.5,1)(2.5,3)
		\psline[arrowscale=2,linewidth=1pt,linecolor=marron,linestyle=dashed]{->}(0.5,-1)(3.5,-2.5)
		\uput[ul](-2.5,0.5){\blue \point{A}}
		\uput[ur](-1.5,2.5){\blue \point{B}}
		\uput[dr](0.5,-1){\blue \point{C}}
		\uput[ur](1.5,0.95){\blue \point{D}}
		\uput[dr](2.5,3){\blue \point{M}}
		\uput[ur](3.5,-2.5){\blue \point{N}}
	\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}