\documentclass[a4paper, 12pt]{article}

\usepackage{cp-sujet}
\newcommand{\nomfichier}{[2GT.DM09] Le Petit Chaperon Rouge - Correction}

\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}

\pdfinfo{
 /Author (Pierquet)
 /Title (\nomfichier)
}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Février 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Correction du DM09}

\medskip

\titrexo{Partie A}

\begin{enumerate}
	\item La figure est la suivante :
	\begin{center}
		\psset{unit=1cm,tickwidth=1pt}
		\defgrille{-3}{4}{1}{1}{-4}{2}{1}{1}
		\begin{pspicture}(-3,-4)(4,2)
			\grillep{linewidth=0.75pt,linecolor=orange,linestyle=dashed}
			\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-4)(4,2)
			\psdots[dotscale=1.5,linecolor=blue](-1,-2)(2,1)(3,0)(0,-3)
			\psdots[dotscale=1.5,linecolor=red](1,-2)
			\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=purple,linestyle=dotted]{->}(-1,-2)(2,1)
			\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=purple,linestyle=dotted]{->}(2,1)(3,0)
			\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=purple,linestyle=dotted]{->}(3,0)(0,-3)
			\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=purple,linestyle=dotted]{->}(-1,-2)(0,-3)
			\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{->}(3,0)(2,-2)
			\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{->}(2,-2)(1,-1)
			\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{->}(1,-1)(3,0)
			\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{->}(3,0)(1,-2)
			\uput[dl](-1,-2){\blue \ppoint{D}}\uput[ul](2,1){\blue \ppoint{V}}
			\uput[ur](3,0){\blue \ppoint{C}}\uput[dr](0,-3){\blue \ppoint{M}}
			\uput[dr](1,-2){\red \ppoint{T}}
		\end{pspicture}
	\end{center}
	\item On calcule (ou on lit !) les coordonnées des vecteurs :
	
	$\vect{DV} \coordeux{x_V-x_D}{y_V-y_D}=\coordeux{3}{3}$ ; $\vect{VC} \coordeux{1}{-1}$ ; $\vect{CM} \coordeux{-3}{-3}$ et $\vect{DM} \coordeux{1}{-1}$
\end{enumerate}

\medskip

\titrexo{Partie B}

\begin{enumerate}
	\item On calcule les longueurs grâce aux coordonnées des vecteurs :
	\begin{multicols}{2}
		$DV=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}$ 
		
		$VC=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
		
		$CM=\sqrt{(-3)^2+(-3)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}$
		
		$DM=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
	\end{multicols}
	\item On peut déjà noter que $\vect{DV}=-\vect{CM}=\vect{MC}$ donc $DVCM$ est un parallélogramme
	
	On va calculer les longueurs des deux diagonales pour démontrer que c'est un rectangle :
	
	\tabu{}$\vect{DC} \coordeux{4}{2} \Rightarrow CD=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}$ et $\vekt{MV} \coordeux{2}{4} \Rightarrow MV=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}$
	
	On en déduit donc que le trajet sur lequel le petit chaperon rouge chemine est un rectangle
\end{enumerate}

\medskip

\titrexo{Partie C}

\begin{enumerate}
	\item On a déjà $\vect{CT}=-\dfrac12 \vect{MV} + \vect{CV} + \dfrac{1}{\strut 2}\vect{DC}+\dfrac{2}{\strut 3}\vect{VD}=\dfrac12 \vect{VM} + \vect{CV} + \dfrac{1}{\strut 2}\vect{DC}+\dfrac{2}{\strut 3}\vect{VD}$
	
	Pour placer le point $T$, on part du point $C$ et on rajoute les différents vecteurs proposés
	\item Les coordonnées de $\vect{CT}$ sont $\coordeux{x_T-3}{y_T-0}$
	
	Et en utilisant la relation vectorielle, $\dfrac12 \vect{VM} + \vect{CV} + \dfrac{1}{\strut 2}\vect{DC}+\dfrac{2}{\strut 3}\vect{VD}=\dfrac12 \times \coordeux{-2}{-4}+\coordeux{-1}{1}+\dfrac{1}{\strut 2} \times \coordeux{4}{2}+\dfrac{2}{\strut 3} \times \coordeux{-3}{-3}$
	
	Soit $\coordeux{x_T-3}{y_T-0} = \coordeux{-1}{-2}+\coordeux{-1}{1}+\coordeux{2}{1}+\coordeux{-2}{-2}=\coordeux{-2}{-2}$
	\item On en déduit donc $\begin{dcases}	x_T-3 = -2 \\ y_T-0 = -2 \end{dcases} \Rightarrow \begin{dcases}	x_T = 1 \\ y_T = -2 \end{dcases}$
	
	Ainsi $T \coordpl{1}{-2}$ \hfill{}\textit{Ouuuh, Aouuuuh !!!}
\end{enumerate}

\end{document}