\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\usepackage{cp-sujet}
\newcommand{\nomfichier}{[2GT.CHAP08] Signes et variations}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
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\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre le ...}}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Chapitre 08}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Signes et variations d'une fonction}

\section{Variations d'une fonction}

\subsection{Rappels et compléments}

\idee{
Sur une courbe, on peut visualiser des endroits (intervalles) sur lesquels la courbe \og monte \fg{} ou \og descend \fg{}
}

\espacepara

\defi[s rigoureuses]{
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I
	
$\bullet~$la fonction $f$ est croissante sur I signifie que les valeurs de $f(x)$ augmentent quand $x$ augmente dans I
	
$\bullet~$la fonction $f$ est décroissante sur I signifie que les valeurs de $f(x)$ diminuent quand $x$ augmente dans I
	
$\bullet~$la fonction $f$ est constante sur I signifie que les valeurs de $f(x)$ restent égales à un même nombre
}

\espacepara

\prop[ - Rappel]{
Les variations d'une fonction peuvent être résumées dans un tableau, appelé \textbf{tableau de variation}
	
Les valeurs pour lesquelles la fonction n'est pas définie (valeurs interdites) sont indiquées par une double barre verticale sur la deuxième ligne
}

\espacetitre

\subsection{Extremum}

\idee[s]{
Le \textbf{maximum} d'une fonction est l'ordonnée du point le plus haut de la courbe
	
Le \textbf{minimum} d'une fonction est l'ordonnée du point le plus bas de la courbe
}

\espacepara

\defi[s]{
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I ; et soient $a$ et $b$ deux réels de l'intervalle I
	
$\bullet~$la fonction $f$ admet un maximum en $a$ sur I signifie que $f(x) \pp f(a)$ pour tout réel $x$ de I
	
\tabu{}\tabu{}$f(a)$ est le maximum de $f$ sur I
	
$\bullet~$la fonction $f$ admet un minimum en $b$ sur I signifie que $f(x) \pg f(b)$ pour tout réel $x$ de I
	
\tabu{}\tabu{}$f(b)$ est le maximum de $f$ sur I
}

\espacepara

\methode{
Pour déterminer le maximum ou le minimum d'une fonction à l'aide de son tableau de variations, on repère dans la deuxième ligne la plus grande ou la plus petite valeur prise par cette fonction
}

\espacetitre

\subsection{Comparaison d'images}

\defi[s]{
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I ; et soient $b$ et $b$ deux réels de I
	
$\bullet~$la fonction $f$ est croissante sur I signifie que : si $a \pp b$, alors $f(a) \pp f(b)$	
	
\tabu{}\tabu{}autrement dit les nombres $f(a)$ et $f(b)$ sont rangés dans le même ordre que $a$ et $b$
	
$\bullet~$la fonction $f$ est décroissante sur I signifie que : si $a \pp b$, alors $f(a) \pg f(b)$	
	
\tabu{}\tabu{}autrement dit les nombres $f(a)$ et $f(b)$ sont rangés dans l'ordre contraire que $a$ et $b$
}

\espacepara

\rmq{
C'est au XVII\up{e} siècle que se développe, avec notamment Newton et Leibniz, l'étude des variations d'une fonction
}

\espacepara

\defi{
Une fonction est dite \textbf{monotone} sur I si elle soit croissante soit décroissante sur I
}

\espacepara

\methode{
Pour comparer deux images par une fonction à partir de son tableau de variation, on peut \og placer \fg{} ces images dans le tableau et regarder si elles sont comparables
}

\espacetitre

\subsection{Nombre de solutions d'une équation}

\prop{
Le tableau de variations (complet) d'une fonction $f$ permet de déterminer le nombre de solutions d'une équation du type $f(x)=k$

\tabu{}$\bullet~~$il suffit de \og placer \fg{} $k$ sur les flèches

\tabu{}$\bullet~~$on peut même obtenir une \og position \fg{} de chacune des solutions

\tabu{}$\bullet~~$la fonction TABLE permet de préciser une valeur approchée de ces solutions (si $f$ est donnnée)
}

\espacetitre

\section{Signe d'une fonction}

\subsection{Aspect graphique}

\methode{
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, on note $\courbe{f}$ sa courbe dans un repère orthogonal
	
La fonction $f$ est positive lorsque $\courbe{f}$ est située au-dessus de l'axe des abscisses
	
La fonction $f$ est négtive lorsque $\courbe{f}$ est située au-dessous de l'axe des abscisses
}

\espacepara

\rmq{
On retrouve algébriquement via la résolution des inéquations $f(x) \pg $ ou $f(x) \pp 0$
}

\espacetitre

\subsection{Tableau de signes}

\methode[ - Rappels]{
On peut synthétiser le signe d'une fonction grâce à un \textbf{tableau de signes} :
\begin{itemize}
	\item la première ligne comporte les valeurs importantes de $x$, autrement dit celles où $f$ change de signe
	\item la seconde ligne contient des +, des - et/ou des 0 pour symboliser le signe de la fonction
\end{itemize}
}

\espacepara

\methode{
On peut déduire le tableau de signes d'une fonction grâce à son tableau de variations (on cherche les 0)
}

\newpage

\subsection{(In)Équations produit, quotient}

\methode{
Pour résoudre une inéquation produit :, on détermine le signe de chaque facteur
\begin{itemize}
	\item on détermine le signe de chaque facteur
	\item on construit le tds en utilisant une ligne par facteur
	\item on utilise la règle des signes (en colonne)
	\item on détermine la solution sous forme d'intervalle(s)
\end{itemize}
}

\espacepara

\methode{
Même technique en considérant une double-barre pour les éventuelles valeurs interdites
}

\end{document}