\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\usepackage{cp-sujet}
\newcommand{\nomfichier}{[2GT7.DS07] Probas, signes - Correction.tex}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfstartview=FitH}
\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre le ...}}}
\fancypagestyle{enteteds}{\fancyhead[L]{\entete{Durée : 1 heure}}}
\usepackage{epsdice}
%\usepackage{pst-bezier}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT7 - Mai 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Correction du DS07}

\exonum{4}\strut\lignetitre

\smallskip

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit{$x$/0.9,$k$/1.8}{$-10$,$-2$,$7$,$11$,$15$}
	\tkzTabVar{+/$-2$,-/$-4$,+/$10$,-/$-6$,+/$-3$}
	\tkzTabVal[draw]{2}{3}{0.33}{$\alpha$}{$0$}
	\tkzTabVal[draw]{3}{4}{0.48}{$\beta$}{$0$}
	\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On lit que la fonction $k$ est définie sur l'intervalle $\intervFF{-10}{15}$ (valeurs extrêmes de la ligne des $x$)
		\item On lit que le minimum de $k$ est $-6$ (atteint en $x=11$) et le maximum est 10 (atteint en $x=7$)
		\item On trouve 2 solutions pour $k(x)=0$ (la première $\alpha$ \og sur la flèche ${}_{-4}\nearrow^{10}$ \fg{} et l'autre $\beta$ \og sur ${}^{10}\!\searrow_{-6}$ \fg{})
		\item On trouve le tds de $k(x)$ en \og descendant les zéros et en suivant les flèches \fg{}
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit{$x$/1,$k(x)$/1}{$-10$,$\alpha$,$\beta$,$15$}
				\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}
	\item Lorsque $-2\pp x \pp 15$, on trouve que $\text{min}=-6 \pp k(x) \pp 10 = \text{Max}$
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item $k(0)$ et $k(5)$ sont \og sur une même flèche croissante, donc $k(0) \pp k(5)$
		\item $k(-5)$ et $k(10)$ ne sont pas sur une même flèche et celles-ci ont des valeurs communes, donc on ne peut pas les comparer
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exonum{4}\strut\lignetitre

\smallskip

\begin{center}
	\psset{unit=0.75cm,tickwidth=1pt,algebraic=true}
	\defgrille{-5}{8}{1}{0.5}{-2}{6}{1}{0.5}
	\begin{pspicture}(-5,-2)(8,6)
		\grilles{linewidth=0.5pt,linecolor=orange!50}
		\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-2)(8,6)
		%\psbcurve[linecolor=purple,linewidth=1.25pt](-4,5)(-2,1)(1,4)(5,-1)(7,0)
		\psplot[linecolor=purple,linewidth=1.25pt]{-4}{-2}{x^2+4*x+5}
		\psplot[linecolor=purple,linewidth=1.25pt]{-2}{1}{-2/9*x^3-1/3*x^2+4/3*x+29/9}
		\psplot[linecolor=purple,linewidth=1.25pt]{1}{5}{5/32*x^3-45/32*x^2+75/32*x+93/32}
		\psplot[linecolor=purple,linewidth=1.25pt]{5}{7}{0.25*x^2-2.5*x+5.25}
		\psdots[dotscale=1.25,linecolor=purple](-4,5)(-2,1)(1,4)(5,-1)(7,0)
		\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed](-5,2)(8,2)
	\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item La fonction $v$ est définie sur l'intervalle $\intervFF{-4}{7}$ (valeurs extrêmes de $x$)
	\item L’image de 5 par la fonction $v$ est $v(5)=-1$ et $v(-4)=5$
	\item Les antécédents de 0 par la fonction $v$ sont $x \approx 3,9$ et $x=7$
	\item Graphiquement $v(x)=2$ donne $\mathcallig{S}=\left\lbrace -3\,;\,-0,75\,;\,2,75 \right\rbrace $ et $v(x)>2$ donne $\mathcallig{S}=\intervFO{-4}{-3} \cup \intervOO{-0,75}{2,75}$
	\item Le tableau de variations de $v$ est :
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/1,$v$/2}{$-4$,$-2$,$1$,$5$,$7$}
			\tkzTabVar{+/$5$,-/$1$,+/$4$,-/$-1$,+/$0$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\item Et le tableau de signes :
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit{$x$/1,$v(x)$/1}{$-4$,${3,9}$,$7$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,z}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{enumerate}

\bigskip

\exonum{5}\strut\lignetitre

\medskip
\begin{enumerate}
	\item $(x-3)(x-1) \pg 0$ : on peut faire un tds car on cherche un produit \textcolor{red}{positif}
	
	\tabu{}$\bullet~~(x-3)=0 \ssi x=3$ et $a=1$ donc signe $\ominus\oplus$
	
	\tabu{}$\bullet~~(x-1)=0 \ssi x=1$ et $a=1$ donc signe $\ominus\oplus$
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/1,$x-3$/1,$x-1$/1,expr/1}{$-\infty$,$1$,$3$,$+\infty$}
			\draw[fill=red!25,fill opacity=0.75](T13) rectangle (N24);
			\draw[fill=red!25,fill opacity=0.75](N33) rectangle (T24);
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	Ainsi $\mathcallig{S}=\intervOF{-\infty}{1} \cup \intervFO{3}{+\infty}$
	\item $\dfrac{5+x}{13-7x} \pp 0$ : on peut faire un tds car on cherche un quotient \textcolor{red}{négatif}
	
	\tabu{}$\bullet~~(5+x)=0 \ssi x=-5$ et $a=1$ donc signe $\ominus\oplus$
	
	\tabu{}$\bullet~~(13-7x)=0 \ssi x=\tfrac{13}{7}$ et $a=-7$ donc signe $\oplus\ominus$
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[double distance=4]
		\tkzTabInit{$x$/1,$5+x$/1,$13-7x$/1,expr/1}{$-\infty$,$-5$,$\tfrac{13}{7}$,$+\infty$}
		\draw[fill=red!25,fill opacity=0.75](T13) rectangle (N24);
		\draw[fill=red!25,fill opacity=0.75](N33) rectangle (T24);
		\draw(N31) node {{\footnotesize \red D}};
		\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
		\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}
		\tkzTabLine{,-,z,+,d,-,}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	Ainsi $\mathcallig{S}=\intervOF{-\infty}{-5} \cup \intervFO{\frac{13}{7}}{+\infty}$
	\item $x(x+2)(x-3)^2 > 0$ : on peut faire un tds car on cherche un produit \textcolor{red}{strictement positif}
	
	\tabu{}$\bullet~~x=0 \ssi x=0$ (!) et $a=1$ donc signe $\ominus\oplus$
	
	\tabu{}$\bullet~~(x+2)=0 \ssi x=-2$ et $a=1$ donc signe $\ominus\oplus$
	
	\tabu{}$\bullet~~(x-3)=0 \ssi x=3$ et $a=1$ donc signe $\ominus\oplus$
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit{$x$/1,$x$/1,$x+2$/1,$x-3$/1,$x-3$/1,expr/1}{$-\infty$,$-2$,$0$,$3$,$+\infty$}
		\draw[fill=red!25,fill opacity=0.75](T15) rectangle (N26);
		\draw[fill=red!25,fill opacity=0.75](N35) rectangle (T26);
		\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,t,+,}
		\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,t,+,}
		\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,z,+,}
		\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,z,+,}
		\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,z,+,}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	Ainsi $\mathcallig{S}=\intervOO{-\infty}{-2} \cup \intervOO{0}{3} \cup \intervOO{3}{+\infty}$
	\item $\dfrac{1}{x+2} \pp -2$ : on ne peut pas (encore) faire un tds (à cause du $-2$)
	
	\tabu{}$\bullet~~\dfrac{1}{x+2} \pp -2 \ssi \dfrac{1}{x+2}+2 \pp 0 \ssi \dfrac{1}{x+2}+\dfrac{2(x+2)}{x+2} \pp 0 \ssi \dfrac{2x+5}{x+2} \pp 0$
	
	\tabu{}$\bullet~~$et là on peut faire un tds car on cherche un quotient \textcolor{red}{négatif}
	
	\tabu{}$\bullet~~(2x+5)=0 \ssi x=-2,5$ et $a=2$ donc signe $\ominus\oplus$
	
	\tabu{}$\bullet~~(x+2)=0 \ssi x=-2$ et $a=1$ donc signe $\ominus\oplus$
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[double distance=4]
		\tkzTabInit{$x$/1,$2x+5$/1,$x+2$/1,expr/1}{$-\infty$,${-2,5}$,$-2$,$+\infty$}
		\draw[fill=red!25,fill opacity=0.75](N23) rectangle (N34);
		\draw(N31) node {{\footnotesize \red D}};
		\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
		\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,+,}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	Ainsi $\mathcallig{S}=\intervFO{-2,5}{-2}$
\end{enumerate}

\bigskip

\exonum{4}\strut\lignetitre

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item On peut proposer le tableau à double entrée suivant :
	\begin{center}
		\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
		\begin{tabular}{|M{1.25cm}|M{1.25cm}|M{1.25cm}|M{1.25cm}|}
			\cline{2-4}
			\multicolumn{1}{c|}{} & C & R & Total \\ \hline
			B & 10 & 2 & 12 \\ \hline
			V & 4 & 6 & 10 \\ \hline
			N & 4 & 14 & 18 \\ \hline
			Total & 18 & 22 & 40 \\ \hline
		\end{tabular}
	\end{center} 
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On trouve facilement $p(V)=\dfrac{10}{40}=0,25$ et $p(C)=\dfrac{18}{40}=0,45$
		\item $V \cap C$ : \og Le jeton tiré est vert \textbf{et} carré \fg{} et $p(V \cap C)=\dfrac{4}{40}=0,1$
		
		$V \cup C$ : \og Le jeton tiré est vert \textbf{ou} carré \fg{} et $p(V \cup C)=\dfrac{10}{40}+\dfrac{18}{40}-\dfrac{4}{40}=0,6$
	\item L’événement contraire de $M$ : \og le jeton est carré et n’est pas bleu \fg{} est \og le jeton n'est pas carré \textbf{ou} est bleu \fg{} soit encore \og le jeton est rond \textbf{ou} bleu \fg{}
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\bigskip

\exonum{3}\strut\lignetitre

\medskip

\begin{enumerate}
	\item En utilisant un tableau de valeurs sur $\intervFF{0}{50}$ avec un pas de 1, on peut conjecturer :
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[deltacl=0.7,espcl=2.5]{$x$/1,$B$/2}{$0$,$4$,$40$,$50$}
			\tkzTabVar{+/$-900$,-/$-1828$,+/$21500$,-/$15100$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\item En adpatant la fenêtre graphique (\texttt{Xmin=-3000} et \texttt{Ymin=23000}) on obtient :
	\begin{center}
		\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.00033cm,tickwidth=1pt,algebraic=true}
		\defgrille{0}{55}{5}{2.5}{-3000}{23000}{1000}{1000}
		\begin{pspicture}(-5,-3000)(55,23000)
			\grilles{linewidth=0.5pt,linecolor=cyan}
			%\grillep{linewidth=0.7pt,linecolor=orange}
			\def\f{-x^3+66*x^2-480*x-900}
			\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=2000,labels=x]{->}(0,0)(0,-3000)(55,23000)
			\multido{\i=0+1}{51}{\psCoordinates[linestyle=none](*\i \space {\f})}
			\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{50}{\f}
			\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=ForestGreen](0,18000)(50,18000)
			\uput[l](0,0){$0$}\uput[l](0,2000){$2~000$}\uput[l](0,10000){$10~000$}
			\uput[l](0,18000){\textcolor{ForestGreen}{$18~000$}}
		\end{pspicture}
	\end{center}
	\item Le bénéfice mensuel est supérieur à \np{18000}\,\euro{} pour une quantité comprise entre 32 et 47~L (environ)
\end{enumerate}

\end{document}