\documentclass[a4paper, 11pt]{article}

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\newcommand{\point}[1]{\footnotesize \textsf{#1}}
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\author{Pierquet}
\title{[2GT.CHAP02] Exercices bilan}

\pdfinfo{
 /Author (Pierquet)
 /Title ([2GT.CHAP02] Exercices bilan)
}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
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\rhead{\entete{2GT - Octobre 2017}}
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\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Repérage - Exercices bilan} %TODO SUJET

\soustitre{$\leftrightsquigarrow$ AutoÉvaluation $\leftrightsquigarrow$}

\titrexo{Exercice 1}

\medskip

Dans un repère $\left(O\,;\,I\,,\,J\right)$, soient les points $A \coordpl{-2}{-5}$, $B \coordpl{0}{5}$, $C \coordpl{4}{1}$ et $D \coordpl{2}{-9}$.

\begin{enumerate}
	\item Faire une figure qui sera complétée au fil des questions.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du milieu K du segment $[AC]$.
		\item Calculer les coordonnées du milieu L du segment $[BD]$.
		\item Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Exercice 2}

\medskip

Soient les points $A \coordpl{-5}{5}$, $B \coordpl{3}{-3}$, $C \coordpl{-5}{-3}$, $D \coordpl{-1}{1}$ et $E \coordpl{9}{-1}$.

\begin{enumerate}
	\item Placer ces points dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,I\,,\,J\right)$.
	\item Montrer que le point D est le milieu du segment $[AB]$.
	\item Montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en C. Justifier clairement la réponse.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point K milieu de $[AE]$.
		\item À l'aide de K, déterminer les coordonnées du point F tel que ABEF soit un parallélogramme. Placer F.
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point G tel que D soit le milieu de $[FG]$. Placer G.
	\end{enumerate}
	\item Soit $\mathcallig{C}$ le cercle de centre A et de rayon 6. Le point $P \coordpl{-10}{2}$ appartient-il au cercle $\mathcallig{C}$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Exercice 3}

\medskip

On se place dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,I\,,\,J\right)$.

On considère les points $A \coordpl{-1}{1}$ et $B \coordpl{5}{-3}$ ainsi que le cercle $\cal{C}$ de diamètre $[AB]$.

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure.
		\item On note K le centre du cercle $\cal{C}$. Calculer les coordonnées de K puis le placer sur la figure.
		\item Montrer que le cercle $\cal{C}$ a pour rayon $\sqrt{13}$.
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point $C \coordpl{7}{0}$ dans le repère.
		\item Calculer les longueur AB, AC et BC.
		\item Que peut-on dire du triangle ABC ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Exercice 4}

\medskip

Soit $\left(O\,;\,I\,,\,J\right)$ un repère orthonormé du plan. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x)=0,75x^3-4,5x^2+5,75x.\]

\begin{enumerate}
	\item Dresser un tableau de valeurs de la fonction $f$ pour les valeurs de $x$ comprises entre $-0,5$ et $4,5$, avec un pas de 0,5.
	\item Soient $A \coordpl{1}{f(1)}$ et $B \coordpl{4}{f(4)}$ deux points de $\courbe{f}$, la courbe représentative de la fonction $f$.
	
	Déterminer la distance $AB$, exprimée en unité de longueur.
	\item Le triangle OAB est-il rectangle ? Justifier.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point D tel que OABD soit un parallélogramme.
		\item Le point D appartient-il à la courbe $\courbe{f}$ ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\grandtitre{Éléments de correction}%TODO CORRECTIONS

\titrexo{Formules et méthodes utiles}

\medskip

On rappelle la formule du milieu $\coordpl{\dfrac{x_A+x_B}{2}}{\dfrac{y_A+y_B}{2}}$ et celle de la distance $AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}$

On rappelle qu'un parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leur milieu

\bigskip

\titrexo{Exercice 1}

\medskip

On obtient successivement $K \coordpl{1}{-2}$ et $L \coordpl{1}{-2}$ ; et de ce fait ABCD est un parallélogramme

\bigskip

\titrexo{Exercice 2}

\medskip

On vérifie facilement avec la formule du milieu que le milieu de $[AB]$ est D

On calcule $AC=8$, $BC=8$ et $AB=\sqrt{128}$ ; donc ABC isocèle, et d'après Pythagore ABC rectangle

On obtient facilement $K \coordpl{2}{2}$

D'après la formule du milieu, on trouve (par deux équations) que $F \coordpl{1}{7}$ ; de même on obtient $G \coordpl{-3}{-5}$

On calcule $AP=\sqrt{34}\neq 6$ donc le point P n'est pas sur le cercle $\mathcallig{C}$

\begin{center}
	\psset{unit=0.33cm}
	\begin{pspicture*}(-11,-6)(10,8)
	\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,gridwidth=0.75pt](0,0)(-11,-6)(10,8)
	\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,tickwidth=1pt]{->}(0,0)(-11,-6)(10,8)
	\uput[d](0.9,0){\point{I}} \uput[l](0,1){\point{J}} \uput[dl](0,0){\point{O}}
	\psdots[dotscale=1.15,linecolor=red](-5,5)(3,-3)(-5,-3)(-1,1)(9,-1)(2,2)(1,7)(-3,-5)(-10,2)
	\uput[ul](-5,5){\point{A}} \uput[dr](3,-3){\point{B}}
	\uput[dl](-5,-3){\point{C}} \uput[dl](-1,1){\point{D}} \uput[dr](9,-1){\point{E}} \uput[dr](-10,2){\point{P}}
	\uput[ur](2,2){\point{K}} \uput[ur](1,7){\point{F}} \uput[dr](-3,-5){\point{G}}
	\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](-5,5)(9,-1)
	\psline[linecolor=olive,linestyle=dashed](-3,-5)(1,7)
	\psline[linecolor=purple,linestyle=dashed](-5,5)(-5,-3)(3,-3)(-5,5)
	\psline[linecolor=magenta,linestyle=dashed](-5,5)(3,-3)(9,-1)(1,7)(-5,5)
	\pscircle[linecolor=ForestGreen,linestyle=dashed](-5,5){6}
	\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\titrexo{Exercice 3}

\medskip

On obtient $K \coordpl{2}{-1}$ puis le fait que le rayon est AK et vaut $AK=\sqrt{13}$

On obtient $AB=\sqrt{52}$, $AC=\sqrt{65}$ et $BC=\sqrt{13}$ donc (Pythagore) ABC est rectangle en B

\begin{center}
	\psset{unit=0.33cm}
	\begin{pspicture*}(-2,-5)(8,3)
	\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,gridwidth=0.5pt](0,0)(-2,-5)(8,3)
	\psaxes[linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-2,-5)(8,3)
	\uput[d](0.9,0){\point{I}} \uput[l](0,1){\point{J}} \uput[dl](0,0){\point{O}}
	\psdots[dotscale=1.15,linecolor=red](-1,1)(5,-3)(2,-1)(7,0)
	\uput[dl](-1,1){\point{A}} \uput[dr](5,-3){\point{B}} \uput[ur](2,-1){\point{K}}
	\uput[ur](7,0){\point{C}}
	\psline[linecolor=purple,linestyle=dashed](-1,1)(5,-3)(7,0)(-1,1)
	\pscircle[linecolor=ForestGreen,linestyle=dashed](2,-1){3.60555}
	\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\titrexo{Exercice 4}

\medskip

La calculatrice donne le tableau de valeurs directement

On a $A \coordpl{1}{2}$ et $B \coordpl{4}{-1}$ de sorte que $AB=\sqrt{18}$

Ainsi $OA=\sqrt{5}$, $OB=\sqrt{17}$ de sorte que (Pythagore) OAB n'est pas rectangle

Grâce au milieu de $[OB]$ qui est également le milieu de $[AD]$, on trouve $D \coordpl{3}{-3}$

On calcule $f(3)$ et on obtient $f(3)=-3$ donc $D \in \courbe{f}$ 

\begin{center}
	\psset{unit=0.75cm,algebraic=true}
	\begin{pspicture*}(-0.5,-3.5)(4.5,2.5)
	\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,gridwidth=0.75pt](0,0)(-0.5,-3.5)(4.5,2.5)
	\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,tickwidth=1pt]{->}(0,0)(-0.5,-3.5)(4.5,2.5)
	\psplot[linecolor=blue]{-0.5}{4.5}{0.75*x^3 - 4.5*x^2 + 5.75*x}
	\uput[d](0.9,0){\point{I}} \uput[l](0,1){\point{J}} \uput[dl](0,0){\point{O}}
	\psdots[dotscale=1.15,linecolor=red](0,0)(1,2)(4,-1)(3,-3)
	\uput[ul](1,2){\point{A}} \uput[dr](4,-1){\point{B}} \uput[dr](3,-3){\point{D}}
	\psline[linecolor=purple,linestyle=dashed](0,0)(1,2)(4,-1)(3,-3)(0,0)
	\end{pspicture*}
\end{center}

\end{document}