\documentclass[a4paper, 12pt]{article}

\usepackage[sujet,pythontex]{cp-sujet}
\newcommand{\nomfichier}{Correction forme canonique}

\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}

\pdfinfo{
 /Author (Pierquet)
 /Title (\nomfichier)
}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Mai 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Fonctions du 2\up{d} degré}


\titrexo{Correction de l'exercice 4}\strut\lignetitre

\begin{enumerate}
	\item \textbf{Méthode par identité remarquable}
	\begin{enumerate}
		\item On peut déjà noter que dans les formules de IR1 et IR2, on a le double produit, donc pour \og retourner \fg{} la technique, on va diviser par 2 !
		
		\tabu{}$\bullet~~x^2+6x=(x+3)^2-9$ puis $x^2+6x+50=(x+3)^2-9+50=(x+3)^2+41$
		
		\tabu{}$\bullet~~x^2-10x=(x-5)^2-25$ puis $x^2-10x+30=(x-5)^2-25+30=(x-5)^2+5$
		
		\tabu{}$\bullet~~x^2+3x=(x+1,5)^2-2,25$ puis $x^2+3x+5=(x+1,5)^2-2,25+5=(x+1,5)^2+2,75$
		\item Si la coefficient $a$ est différent de 1, on commence par factoriser par $a$ puis on applique la technique précédente :
		
		\tabu{}$\bullet~~3x^2+2x+8=3 \left[{\red x^2+\dfrac23x}+\dfrac83\right]=3 \left[{\red\left(x+\dfrac13 \right)^2-\dfrac19}+\dfrac83\right]$\smallskip
		
		\tabu{}$\phantom{\bullet~~3x^2+2x+8}=3 \left[\left(x+\dfrac13 \right)^2+\dfrac{23}{9} \right]=3 \left(x+\dfrac13 \right)^2+\dfrac{23}{3}$
		\item On reprend le principe de factorisation puis d'utilisation des IR :
		
		\tabu{}$\bullet~~5x^2-6x+3=5 \left[{\red x^2-\dfrac65x+}\dfrac35\right]=3 \left[{\red \left(x-\dfrac35 \right)^2-\dfrac{9}{25}}+\dfrac35\right]$\smallskip
		
		\tabu{}$\phantom{\bullet~~5x^2-6x+3}=5 \left[\left(x-\dfrac35 \right)^2+\dfrac{6}{25} \right]=5 \left(x-\dfrac35 \right)^2+\dfrac{6}{5}$
		
		\tabu{}$\bullet~~2x^2-6x+15=2 \left[{\red x^2-3x}+7,5\right]=2 \left[{\red \left(x-1,5 \right)^2-2,25}+7,5\right]$\smallskip
		
		\tabu{}$\phantom{\bullet~~2x^2-6x+15}=2 \left[\left(x-1,5 \right)^2+5,25 \right]=2 \left(x-1,5 \right)^2+10,5$
	\end{enumerate}
	\item \textbf{Méthode par formules}
	\begin{enumerate}
		\item $f(x)=x^2-10x+30$
		\begin{itemize}
			\item $a=1$ ; $b=-10$ et $c=30$
			\item $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-10}{2\times 1}=\dfrac{10}{2}=5$
			\item $\Delta=b^2-4ac=(-10)^2-4\times1\times30=100-120=-20$
			\item $\beta=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{-20}{4\times1}=\dfrac{20}{4}=5$
		\end{itemize}
		
		D'où $x^2-10x+30=1(x-5)^2+5=(x-5)^2+5$
		\item $g(x)=x^2+6x+50$
		\begin{itemize}
			\item $a=1$ ; $b=6$ et $c=50$
			\item $\alpha=-\dfrac{6}{2}=3$ ; $\Delta=6^2-4\times1\times50=-164$ et $\beta=-\dfrac{-164}{4\times1}=41$
		\end{itemize}
		D'où $x^2+6x+50=1(x-3)^2+41=(x+3)^2+41$
		\item $h(x)=3x^2+2x+8$
		\begin{itemize}
			\item $a=3$ ; $b=2$ et $c=8$
			\item $\alpha=-\dfrac{2}{6}=-\dfrac13$ ; $\Delta=2^2-4\times3\times8=-92$ et $\beta=-\dfrac{-92}{4\times3}=\dfrac{23}{3}$
		\end{itemize}		
		D'où $3x^2+2x+8=3\left(x- \left(-\dfrac13\right) \right)^2+\dfrac{23}{3}=3 \left(x+\dfrac13 \right)^2+\dfrac{23}{3}$
	\end{enumerate}
	\item L'algorithme (version Python) est une fonction :
	\begin{itemize}
		\item prenant en arguments les coefficients d'un trinôme ;
		\item vérifiant que $a \neq 0$ (sinon message d'erreur) ;
		\item calcule $\alpha$, $\Delta$ puis $\beta$, donc permet de déterminer -- indirectement -- la forme canonique.
	\end{itemize}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{scriptpython}
\begin{pyverbatim}[][numbers=left]
from math import *
def canonique(a,b,c):
	if a == 0:
		return "erreur !"
	else :
		alpha = -b/(2*a)
		delta = b**2-4*a*c
		beta = -delta/(4*a)
		return alpha,beta
\end{pyverbatim}
\end{scriptpython}

\medskip

\begin{pyconcode}
from math import *
def canonique(a,b,c):
	if a == 0:
		return "erreur !"
	else :
		alpha = -b/(2*a)
		delta = b**2-4*a*c
		beta = -delta/(4*a)
		return alpha,beta

\end{pyconcode}

\begin{pyconsole}[][framesep=3mm,frame=single,label={[\footnotesize Début de la console]\footnotesize Fin de la console}]
canonique(1,6,50)
canonique(1,-10,30)
canonique(1,3,5)
canonique(3,2,8)
canonique(5,-6,3)
canonique(2,-6,15)
canonique(0,2,11)
\end{pyconsole}

\vfill{}

Sur calculatrice (classique), il faut demander la valeur des variables (avantage de la programmation fonctionnelle sur ce point\dots)

\smallskip

{\small \textit{Pour le calcul de $\beta$, c'est la formule \og directe \fg{} $\beta=f(\alpha})$ qui a été choisie\dots}
\begin{center}
	\fbox{\includegraphics[width=0.3\linewidth]{algo/canonique_casio_90_f}}~~	\fbox{\includegraphics[width=0.3\linewidth]{algo/canonique_casio_90_e}}~~	\fbox{\includegraphics[width=0.3\linewidth]{algo/canonique_casio_90_d}}
\end{center}

À noter que pour la rentrée 2018, Casio propose son modèle 90+E avec un module Python, et donc on peut utiliser la calculatrice pour tester les programmes Python :
\begin{center}
	\fbox{\includegraphics[width=0.3\linewidth]{algo/canonique_casio_90_a}}~~	\fbox{\includegraphics[width=0.3\linewidth]{algo/canonique_casio_90_b}}~~	\fbox{\includegraphics[width=0.3\linewidth]{algo/canonique_casio_90_c}}
\end{center}


\end{document}