\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
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\newcommand{\nomfichier}{[2GT.APPR02] Triangle dans un carré}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
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\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre le ...}}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{AP}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Janvier 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Triangle équilatéral dans un carré}

$ABCD$ est un carré. Un très ancien problème de géométrie consiste à construire, \underline{à la règle et au compas}, un triangle équilatéral $CIJ$ où$I$ et $J$ appartiennent à des côtés du carré.

\bigskip

\titrexo{Partie A - Une première construction}

\medskip

On considère un carré $ABCD$ de centre $O$..

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
\draw[fill=green!30] (0,0) rectangle (5,5);
\node[below left] at (0,0) {{\large A}};
\node[below right] at (5,0) {{\large B}};
\node[above left] at (0,5) {{\large D}};
\node[above right] at (5,5) {{\large C}};
\draw(2.5,2.5) node {$\bullet$} ;
\draw(2.5,2.5) node[below right] {{\large O}} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Construire :
	\begin{enumerate}
		\item le point $I$, point d'intersection du cercle de centre $A$ passant par $O$ et de $[AB]$ ;
		\item le point $J$, point d'intersection du cercle de centre $A$ passant par $O$ et de $[AD]$.
	\end{enumerate} 
	\item Tracer le triangle $CIJ$. Que peut-on conjecturer ?
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le repère $(A\,;\,B\,,\,D)$ est un repère orthonormé.
		\item Déterminer les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $D$ et $O$ dans ce repère.
		\item Calculer la longueur $AO$.
		\item Déterminer, les coordonnées des points $I$ et $J$.
		\item Calculer $CI^2$, $CJ^2$ et $IJ^2$.
	\end{enumerate}
	\item Conclure quant au problème posé.
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Partie B - La solution sans repère d'Abu I-Wafa (940-997)}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Construire un carré $ABCD$, son centre $O$ puis $E$ et $F$ les points d'intersection du cercle de centre $A$ passant par $O$ et du cercle de centre $O$ et passant par $A$.
	\item Les droites $(CE)$ et $(CF)$ coupent les côtés $[AB]$ et $[AD]$ du carré en $I$ et $J$. Construire le triangle $CIJ$.
	\item Justifier que les points $I$ et $J$ sont symétriques par rapport à la droite $(AC)$.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en justifiant, la nature des triangles $EOA$ et $AOF$.
		\item Démontrer que $\widehat{EOF}=120^\circ$ puis en déduire que $\widehat{ICJ}=60^\circ$.
	\end{enumerate}
	\item Conclure quant au problème posé.
\end{enumerate}
\end{document}