\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
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\newcommand{\nomfichier}{[2GT4.DS01] Généralités fonctions}
\author{Pierquet}
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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{Durée : 1 heure}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT4 - Lundi 2 Octobre 2017}}
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\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{DS01 - Généralités sur les fonctions}

\begin{center}
	\textsc{1 point est réservé à la propreté et à la qualité de rédaction de la copie.}
\end{center}

\medskip

\titrexo{Exerice 1 \dotfill{}(5 points)} %exo1

\begin{enumerate}
	\item Représenter, sur la droite des réels (une pour chaque question), les intervalles définis par :
	\begin{enumerate}
		\item $I=\intervOO{-1}{2}$.
		\item $J=\intervOF{-\infty}{4} \cup \intervFO{7}{10}$.
		\item l'ensemble $K$ des réels $x$ tels que $x>1,5$.
	\end{enumerate}
	\item Déterminer l'écriture (à l'aide de crochets) de l'intervalle représenté ci-dessous :
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[>=latex]
		\draw[->] (0,0) --(10,0);
		\node[] at (7,0) {$\Big]$};
		\node[] at (4,0) {$\Big[$};
		\node[below=8pt] at (7,0) {$5$};
		\node[below=8pt] at (0,0) {$-\infty$};
		\node[below=8pt] at (10,0) {$+\infty$};
		\node[below=8pt] at (4,0) {$2$};
		\foreach \xp in {0,0.2,...,3.8}{\node[] at (\xp,0) {/};}
		\foreach \xp in {7.2,7.4,...,9.8}{\node[] at (\xp,0) {/};}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\item On considère les intervalles $U=\R^+$ et $V=\intervOF{-4}{10}$. Déterminer $U \cap V$.
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Exercice 2 \dotfill{}(4 points)} %exo2

\begin{enumerate}
	\item Le graphique ci-dessous donne le niveau de bruit (en décibels) d'une tondeuse à gazon en marche, en fonction de la distance (en mètres) entre la tondeuse et l'endroit où s'effectue la mesure.
	\begin{center}
		{\footnotesize \psset{unit=0.05cm}
		\begin{pspicture}(-8,-5)(150,95)
		\multido{\n=0+10}{16}{\psline[linecolor=lightgray!75,linewidth=0.75pt](\n,0)(\n,95)}
		\multido{\n=0+10}{10}{\psline[linecolor=lightgray!75,linewidth=0.75pt](0,\n)(150,\n)}
		\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(150,95)
		\uput[r](0,92){\scriptsize Niveau de bruit (en décibels)}
		\uput[u](135,0){\scriptsize  Distance (en mètres)}
		\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{1}{150}{2.71828 x 0.05 mul neg exp 50 mul 45 add}
		\end{pspicture}}
	\end{center}
	
	En utilisant ce graphique, répondre aux deux questions suivantes. \emph{Aucune justification n'est attendue.}
	
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le niveau de bruit à une distance de $100$ mètres de la tondeuse?
		\item À quelle distance de la tondeuse se trouve-t-on quand le niveau de bruit est égal à $60$~décibels ?
	\end{enumerate}
	\item  Voici les graphiques obtenus pour deux machines très bruyantes d'une usine .
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{Y Y}
			\psset{xunit=0.12cm,yunit=0.06cm}
			\begin{pspicture}(-5,-5)(35,105)
			\multido{\n=0+2.5}{15}{\psline[linecolor=lightgray!75,linewidth=0.75pt](\n,0)(\n,105)}
			\multido{\n=0+5}{22}{\psline[linecolor=lightgray!75,linewidth=0.75pt](0,\n)(35,\n)}
			\uput[r](0,102){\scriptsize Niveau de bruit (en décibels)}
			\uput[u](25,0){\scriptsize  Distance (en mètres)}
			\rput(17.5,35){Machine A}
			\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(35,105)
			\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{1}{35}{2.71828 x 0.14 mul neg exp 40 mul 68 add}	
			\end{pspicture}&\psset{xunit=0.12cm,yunit=0.06cm}
			\begin{pspicture}(-5,-5)(35,105)
			\multido{\n=0+2.5}{15}{\psline[linecolor=lightgray!75,linewidth=0.75pt](\n,0)(\n,105)}
			\multido{\n=0+5}{22}{\psline[linecolor=lightgray!75,linewidth=0.75pt](0,\n)(35,\n)}
			\uput[r](0,102){\scriptsize Niveau de bruit (en décibels)}
			\uput[u](25,0){\scriptsize  Distance (en mètres)}
			\rput(17.5,35){Machine B}
			\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(35,105)
			\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{1}{35}{2.71828 x 0.14 mul neg exp 28 mul 77 add}	
			\end{pspicture}
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
	Dans l'usine, le port d'un casque antibruit est obligatoire à partir d'un \textbf{même niveau de bruit}.
	
	Pour la machine A, il est obligatoire quand on se trouve à moins de $5$~mètres de la machine. En utilisant ces graphiques, déterminer cette distance pour la machine B.
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Exercice 3 \dotfill{}(6 points)} %exo3

\medskip

Une fonction $f$ est définie par la courbe ci-dessous.
\begin{center}
	\psset{unit=1cm,algebraic=true}
	\begin{pspicture}(-1.6,-1.6)(3.1,4.1)
		\multido{\n=-1.5+0.5}{10}{\psline[linecolor=lightgray!75,linewidth=0.75pt](\n,-1.5)(\n,4)}
		\multido{\n=-1.5+0.5}{12}{\psline[linecolor=lightgray!75,linewidth=0.75pt](-1.5,\n)(3,\n)}
		\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labels=none,ticksize=-3pt 3pt]{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(3,4)
		\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{2.5}{x*x-2*x}
		\uput[dl](0,0){0} \uput{6pt}[d](1,0){$1$} \uput[l](0,1){$1$}
		\uput[dr](0,4){$y$} \uput{8pt}[d](2.8,0){$x$}
		\psdots[dotscale=1.25,linecolor=blue](-1,3)(2.5,1.25)
	\end{pspicture}
\end{center}
%	\begin{center}
%		\includegraphics[scale=0.75]{graphics/ds02_exo3.eps}
%	\end{center}
\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble de définition I de $f$ ?
		\item Quelle est l'image de -1 par $f$ ?
		\item Déterminer $f(1)$ et puis les éventuels antécédents de 0 par $f$.
	\end{enumerate}
	\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur I.
	\item Résoudre graphiquement :
	\begin{enumerate}
		\item l'équation $f(x)=2$ ;
		\item l'inéquation $f(x) \pp -0,5$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\bigskip

\titrexo{Exercice 4 \dotfill{}(4 points)} %exo4

\medskip

L'offre est la quantité d'articles qu'une entreprise désire vendre sur le marché en fonction du prix, et la demande est la quantité d'articles que les consommateurs veulent et peuvent acheter en fonction du prix.

Après une étude de marché, l'entreprise a modélisé l'offre par la fonction $f$ et la demande par la fonction $g$, le prix unitaire $x$ de l'article étant exprimé en euros.

Les représentations graphiques de ces fonctions sont données ci-dessous.
\begin{center}
	\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.005cm,algebraic=true}
	\begin{pspicture}(-1.1,-100.1)(5,601)
	\multido{\n=-1+1}{7}{\psline[linecolor=lightgray!75,linewidth=0.75pt](\n,-100)(\n,600)}
	\multido{\n=-100+100}{8}{\psline[linecolor=lightgray!75,linewidth=0.75pt](-1,\n)(5,\n)}
	\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=100,labels=none]{->}(0,0)(-1,-100)(5,600)
	\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=purple]{1}{5}{11.25*(x-1)^2+20}
	\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=ForestGreen]{1}{5}{17.5*(x-5)^2+20}
	\uput[dl](0,0){$O$} \uput{8pt}[d](1,0){$1$} \uput{8pt}[d](2,0){$2$} \uput{8pt}[d](3,0){$3$} \uput{8pt}[d](4,0){$4$} \uput[l](0,100){$100$} \uput[l](0,300){$300$} \uput[l](0,500){$500$}
	\uput[dr](0,600){$y$} \uput{8pt}[d](4.9,0){$x$}
	\rput(1.8,250){\textcolor{ForestGreen}{\large $\courbe{g}$}}
	\rput(4.75,250){\textcolor{purple}{\large $\courbe{f}$}}
	%\psdots[dotscale=1.25,linecolor=blue](-1,3)(2.5,1.25)
	\end{pspicture}
\end{center}
%\begin{center}
%	\includegraphics[scale=0.75]{graphics/ds02_exo5.eps}
%\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Quel est l'ensemble de définition de chacune des fonctions $f$ et $g$ ?
	\item Déterminer $g(2)$. Interpréter le résultat.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre d'articles que peut proposer l'entreprise lorsque le prix unitaire est fixé à 5\,\euro{}.
		\item Dans ce cas, l'entreprise peut-elle espérer vendre tous les articles qu'elle aura fabriqués ? Justifier.
	\end{enumerate}
	\item Déterminer le prix d'équilibre de l'article, c'est-à-dire la valeur de $x$ pour laquelle $f(x)=g(x)$.
\end{enumerate}

\end{document}