\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
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\newcommand{\nomfichier}{[2GT4.DS05] Vecteurs - Correction}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
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\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre le ...}}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT4 - Février 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Correction du DS06}

\titrexo{Exercice 1}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Pour démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme, on démontre que $\vect{AB}=\vect{DC}$ (par exemple, et attention au sens des vecteurs !) :
	
	$\left. \begin{array}{l} \vect{AB} = \coordeux{1-(-2)}{-3-2}=\coordeux{3}{-5} \\ \vect{DC} = \coordeux{7-4}{-1-4}=\coordeux{3}{-5} \end{array} \right\rbrace \Rightarrow ABCD$ est un parallélogramme \hfill\psset{unit=0.75cm}\begin{pspicture}[shift=*](-3,-1)(3,1) \psline(2,0)(1,0.5)(-2,0)(-1,-0.5)(2,0)\uput[r](2,0){\ppoint{B}}\uput[l](-2,0){\ppoint{D}}\uput[u](1,0.5){\ppoint{C}}\uput[d](-1,-0.5){\ppoint{A}}\end{pspicture}
	\item Pour savoir si $ABCD$ est un losange, il faut calculer les longueurs de deux côtés consécutifs :
	
	$\left. \begin{array}{ll} \vect{AB} = \coordeux{3}{-5} & \Rightarrow AB = \sqrt{3^2+(-5)^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34} \\ \vect{BC} =\coordeux{6}{2} & \Rightarrow BC = \sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40} \end{array} \right\rbrace \Rightarrow ABCD$ n'est pas un losange
\end{enumerate}	

\bigskip

\titrexo{Exercice 2}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Pour que $MNPQ$ soit un parallélogramme, il faut (et il suffit) que $\vect{MQ}=\vect{NP}$ :
	
	\tabu{}$\bullet~$on note $Q \coordpl{x}{y}$ et de ce fait $\vect{MQ}=\vect{NP} \Rightarrow \coordeux{x-(-1)}{y-2}=\coordeux{-3}{-7} \Rightarrow \begin{dcases} x+1=-3 \\ y-2=-7 \end{dcases} \Rightarrow \begin{dcases} x=-4 \\ y=-5 \end{dcases}$ \hfill{}ainsi $Q \coordpl{-4}{-5}$
	\item Pour que $MRNP$ soit un parallélogramme, il faut (et il suffit) que $\vect{MR}=\vect{PN}$ :
	
	\tabu{}$\bullet~$on note $R \coordpl{x}{y}$ et de ce fait $\vect{MR}=\vect{PN} \Rightarrow \coordeux{x-(-1)}{y-2}=\coordeux{3}{7} \Rightarrow \begin{dcases} x+1=3 \\ y-2=7 \end{dcases} \Rightarrow \begin{dcases} x=2 \\ y=9 \end{dcases}$ \hfill{}ainsi $R \coordpl{2}{9}$ 
\end{enumerate}	

\bigskip

\titrexo{Exercice 3}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Pour placer le point $M$, on part de $A$ puis on met bout à bout les deux vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$
	\begin{center}
		\psset{unit=0.75cm,tickwidth=1pt}
		\defgrille{-2}{6}{1}{1}{-2}{5}{1}{1}
		\begin{pspicture}(-2,-2)(6,5)
			\grillep{linewidth=0.7pt,linecolor=orange!50,linestyle=dashed}
			\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-2)(6,5)
			\psdots[linecolor=blue,dotscale=1.5](1,2)(-1,-1)(5,4)(3,1)
			\psline[linecolor=purple,linestyle=dashed,linewidth=1.25pt]{->}(1,2)(-1,-1)
			\psline[linecolor=purple,linestyle=dashed,linewidth=1.25pt]{->}(-1,-1)(3,1)
			\psline[linecolor=purple,linestyle=dashed,linewidth=1.25pt]{->}(5,4)(1,2)
			\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=1.25pt]{->}(5,4)(3,1)
			\uput[dl](-1,-1){\ppoint{B}}\uput[ul](1,2){\ppoint{A}}
			\uput[ur](5,4){\ppoint{C}}\uput[dr](3,1){\ppoint{M}}
		\end{pspicture}
	\end{center}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Graphiquement, les coordonnées de $M$ sont $\coordpl{3}{1}$
		\item On cherche $M \coordpl{x}{y}$ : $\vect{AM}=\vect{AB}+\vect{AC} \Rightarrow \coordeux{x-1}{y-2}=\coordeux{-2}{-3}+\coordeux{4}{2} \Rightarrow \coordeux{x-1}{y-2}=\coordeux{2}{-1} \begin{dcases} x-1=2 \\ y-2=-1 \end{dcases} \Rightarrow \begin{dcases} x=3 \\ y=1 \end{dcases}$
	\end{enumerate}
	\item D'après la règle du parallélogramme, on peut directement affirmer que ABMC est un parallélogramme (sinon on montre facilement que $\vect{AB}=\vect{CM}$)
	
	De plus une figure suggère que $ABMC$ n'est ni un losange ni un rectangle
\end{enumerate}	

\bigskip

\titrexo{Exercice 4}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item La figure (complète) obtenue est donnée en fin d'exercice
	\item On place le point $D$ en partant de $C$ et en rajoutant un tiers de $\vect{CA}$ (soit un carreau vers la gauche !)
	
	Les milieux ne posent pas de souci ($F$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$)
	\item On détermine les coordonnées de $D$ grâce à la relation vectorielle :
	
	\tabu{}$\bullet~\coordeux{x-5}{y-3}=\frac{1}{3} \times \coordeux{-3}{0} = \coordeux{-1}{0} \Rightarrow \begin{dcases} x-5 = -1 \\ y-3 = 0 \end{dcases} \Rightarrow \begin{dcases} x=4 \\ y=3 \end{dcases}$ \hfill{}ainsi $D \coordpl{4}{3}$
	
	On détermine les coordonnées de $E$ via la formule des coordonnées du milieu :
	
	\tabu{}$\bullet~x_E=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{6+5}{2}=5,5$ et $y_E=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{2+3}{2}=2,5$\hfill{}ainsi $E \coordpl{5,5}{2,5}$
	
	On détermine les coordonnées de $F$ grâce à la relation vectorielle :
	
	\tabu{}$\bullet~\coordeux{x-2}{y-3}=2 \times \coordeux{4}{-1} = \coordeux{8}{-2} \Rightarrow \begin{dcases} x-2 = 8 \\ y-3 = -2 \end{dcases} \Rightarrow \begin{dcases} x=8+2 \\ y=-2+3 \end{dcases}$ \hfill{}ainsi $F \coordpl{10}{1}$
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On lit (ou calcule) les coordonnées $\vect{DF} = \coordeux{10-4}{1-3} = \coordeux{6}{-2}$ et $\vect{DE} = \coordeux{5,5-4}{2,5-3} = \coordeux{1,5}{-0,5}$
		\item On teste les deux produits en croix :
		
		$\left. \begin{array}{l} 6 \times (-0,5) = -3 \\ (-2) \times 1,5=-3 \end{array} \right\rbrace \Rightarrow \vect{DE}$ et $\vect{DF}$ sont colinéaires (en fait $\vect{DF}=4 \vect{DE}$)
		\item Vecteurs colinéaires $\leftrightsquigarrow$ droites parallèles donc ici on peut dire que $D$, $E$ et $F$ sont alignés
	\end{enumerate}
	\begin{center}
		\psset{unit=1.5cm,tickwidth=1.25pt,algebraic=true,arrowscale=1.5}
		\defgrille{-1}{11}{1}{0.5}{-1}{4}{1}{0.5}
		\begin{pspicture}(-1,-1)(11,4)
			\grilles{linewidth=0.4pt,linecolor=orange!50,linestyle=dashed}
			\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1,-1)(11,4)
			\psdots[linecolor=blue,dotscale=1.5](2,3)(6,2)(5,3)(4,3)(5.5,2.5)(10,1)
			\psline[linecolor=purple,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{->}(5,3)(2,3)
			\psline[ArrowInside=->,linecolor=ForestGreen,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{->}(2,3)(6,2)
			\psline[ArrowInside=->,linecolor=ForestGreen,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{->}(6,2)(10,1)
			\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{1}{11}{-0.333*x+4.333}
			\uput[ul](2,3){\blue \ppoint{A}}\uput[dl](6,2){\blue \ppoint{B}}
			\uput[ur](5,3){\blue \ppoint{C}}\uput[ur](4,3){\blue \ppoint{D}}
			\uput[ur](5.5,2.5){\blue \ppoint{E}}\uput[ur](10,1){\blue \ppoint{F}}
		\end{pspicture}
	\end{center}
%	\begin{center}
%		\includegraphics[width=\linewidth]{graphics/ds06_exo4}
%	\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Exercice 5}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Pour simplifier l'expression demandée, on utilise la relation de Chasles (en \og retournant \fg{} les vecteurs pour ceux avec un signe -) :
	
	$\vect{AB}+\vect{HI}-\vect{DE}+\vect{CA}-\vect{EB}+\vect{DH} = \vect{AB}+\vect{HI}+\vect{ED}+\vect{CA}+\vect{BE}+\vect{DH} = \vect{CA}+\vect{AB}+\vect{BE}+\vect{ED}+\vect{DH}+\vect{HI} = \vect{CI}$
	\item Pour déterminer les coordonnées de $G$ tel que $\vect{GA}+\vect{GB}+\vect{GC}=\vect{0}$ :
	
	\tabu{}$\bullet~\coordeux{0-x}{4-y}+\coordeux{5-x}{1-y}+\coordeux{-1-x}{-1-y}=\coordeux{0}{0} \Rightarrow \coordeux{-x+5-x-1-x}{4-y+1-y-1-y}=\coordeux{0}{0} \Rightarrow \begin{dcases} 4-3x=0 \\ 4-3y=0 \end{dcases} \Rightarrow \begin{dcases} x=\tfrac{4}{3} \\ y=\tfrac{4}{3} \end{dcases}$ 
	
	\tabu{}$\bullet~$ainsi $G \coordpl{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}}$
	
	En fait le point $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$ (hors programme)
\end{enumerate}



\end{document}