\documentclass[a4paper, 11pt]{article}

\usepackage{cp-sujet}

\author{Pierquet}
\title{[2GT.CHAP01] Généralités sur les fonctions}

\pdfinfo{
 /Author (Pierquet)
 /Title ([2GT.CHAP01] Généralités sur les fonctions)
}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Chapitre 01}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Généralités sur les fonctions}

\section{L'ensemble des réels, intervalles}

\subsection{Droite des réels}

\defi{
L'ensemble des abscisses des points d'une droite graduée (le placement du 0 et du 1 suffit) est appelé l'ensemble des nombres réels

On note $\R$ l'ensemble des nombres réels
}

\espacetitre

\subsection{Intervalle}

\defi[s]{
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels

L'intervalle $\intervFF{a}{b}$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $a \pp x \pp b$

On définit de même les intervalles $\intervFO{a}{b}$, $\intervOF{a}{b}$ et $\intervOO{a}{b}$	
}

\espacepara

\rmq{
Le sens des crochets (ouvert ou fermé) indique si la borne de l'intervalle appartient à l'intervalle ou non	
}

\espacepara

\defi[s]{
Soit $a$ un nombre réel

L'intervalle $\intervFO{a}{+\infty}$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $x \pg a$

On définit de la même manières les intervalles $\intervOF{-\infty}{a}$, $\intervOO{a}{+\infty}$ et $\intervOO{-\infty}{a}$
}

\espacepara

\rmq{
L'ensemble $\R$ est l'intervalle $\intervOO{-\infty}{+\infty}$

$\R^+$ est l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls, c'est l'ensemble $\intervFO{0}{+\infty}$

$\R^-$ est l'ensemble des nombres réels négatifs ou nuls, c'est l'ensemble $\intervOF{-\infty}{0}$

$\R^*$ est l'ensemble des nombres réels non nuls, c'est l'ensemble $\intervOO{-\infty}{0} \cup \intervOO{0}{+\infty}$
}

\espacetitre

\subsection{Intersection et réunion}

\defi{
Soient $I$ et $J$ deux intervalles

L'intersection de $I$ et de $J$ est l'ensemble des éléments communs à $I$ et à $J$

On note cet ensemble $I \cap J$ et on lit \og $I$ inter $J$ \fg{}  
}

\espacepara

\defi{
Soient $I$ et $J$ deux intervalles
	
La réunion de $I$ et de $J$ est l'ensemble des éléments qui appartiennes à $I$ ou à $J$, ou aux deux à la fois
	
On note cet ensemble $I \cup J$ et on lit \og $I$ union $J$ \fg{}  
}

\newpage

\section{Fonctions et représentations}

\subsection{Notion de fonction}

\defi{
Soit $\cal{D}$ un ensemble de nombres réels (très souvent une réunion d'intervalles)

Définir une fonction $f$ sur $\cal{D}$ revient à associer, à chaque réel $x$ de $\cal{D}$, un réel et un seul, appelé image de $x$
}

\espacepara

\voc{
$\cal{D}$ est appelé ensemble de définition de $f$
}

\espacepara

\nota[s]{
Soit $a$ un réel de $\cal{D}$ (on note $a \in \cal{D}$), l'image du nombre $a$ par la fonction $f$ est unique et se note $f(a)$

$f(a)$ se lit \og $f$ de $a$ \fg{} et on peut également noter $f\: : \: a \mapsto f(x)$
}

\espacetitre

\subsection{Antécédents}

\defi{
Si $b$ est l'image de $a$, on a l'égalité $f(a)=b$ et on dit que $a$ est un antécédent de $b$ par la fonction $f$	
}

\espacepara

\rmq[s]{
Il peut y avoir plusieurs antécédents, voire aucun	
}

\espacetitre

\subsection{Représentations}

\idee{
Il existe plusieurs manières de représenter, ou définir, une fonction	
}

\espacepara

\defi{
Soient $f$ une fonction, $\cal{D}$ son ensemble de définition et $x \in \cal{D}$

L'expression algébrique d'une fonction donne directement $f(x)$ en fonction de la variable $x$
}

\espacepara

\defi{
Soient $f$ une fonction, $\cal{D}$ son ensemble de définition et $x \in \cal{D}$

Un tableau de valeurs d'une fonction $f$ donne, sur la première ligne (ou colonne) différentes valeurs de la variable $x$ et, en vis-à-vis sur la deuxième ligne (ou colonne) les images $f(x)$ associées	
}

\espacepara

\defi{
La courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère est l'ensemble des points de coordonnées $\left( x\,;\,f(x) \right)$ où $x$ parcourt le domaine de définition $\cal{D}$ de $f$

Elle est souvent notée $\courbe{f}$, et on dit que l'équation de cette courbe représentative est $y=f(x)$
}

\newpage
	
\section{Lectures et résolutions graphiques}

\subsection{Image}

\methode[s]{
Pour déterminer l'image d'un réel $a \in \cal{D}$ :

\tabu{}$\bullet~~$on peut utiliser l'expression algébrique de $f$ et calculer $f(x)$ (on remplace $x$ par $a$)

\tabu{}$\bullet~~$on peut utiliser le tableau de valeurs si celui-ci contient la valeur $a$pour la variable

\tabu{}$\bullet~~$on peut utiliser la courbe représentative en partant de $a$ sur l'axe des abscisses
}

\espacepara

\rmq{
Calculer une image, c'est utiliser l'expression algébrique pour évaluer $f(\dots)$	
}

\espacetitre

\subsection{Antécédent}

\methode[s]{
	Pour déterminer les antécédents  d'un réel $b$ :
	
	\tabu{}$\bullet~~$on peut utiliser l'expression algébrique de $f$ et résoudre l'équation $f(x)=b$
	
	\tabu{}$\bullet~~$on peut utiliser le tableau de valeurs si celui-ci contient la valeur $b$ pour les images
	
	\tabu{}$\bullet~~$on peut utiliser la courbe représentative en partant de $b$ sur l'axe des ordonnées
}

\espacepara

\rmq{
Calculer les (éventuels) antécédents, c'est utiliser l'expression algébrique pour résoudre $f(\dots)=b$	
}

\espacetitre

\subsection{Équation}

\methode[s]{
Pour résoudre graphiquement une équation du type :
	
$\bullet~~f(x)=k$, on détermine les abscisses des points d'intersection de $\courbe{f}$ et de la droite horizontale $y=k$
	
$\bullet~~f(x)=g(x)$, on détermine les abscisses des points d'intersection des courbes $\courbe{f}$ et $\courbe{g}$
}

\espacetitre

\subsection{Inéquation}

\methode[s]{
Pour résoudre graphiquement une équation du type :
	
$\bullet~~f(x) \pp k$, on détermine les abscisses des points de $\courbe{f}$ situés en-dessous de la droite horizontale $y=k$
	
$\bullet~~f(x) \pp g(x)$, on détermine les abscisses des points de $\courbe{f}$ situés en-dessous de $\courbe{g}$
}

\espacepara

\rmq[s]{
On peut généraliser avec les symboles $\pg$, $>$ et $<$ ; et cela induit des modifications sur les crochets

Les résultats sont donnés avec la précision que le graphique permet
}

\newpage

\section{Variations d'une fonction}

\subsection{Premières définitions}

\idee{
Sur une courbe, on peut visualiser des endroits (intervalles) sur lesquels la courbe \og monte \fg{} et des endroits où elle \og descend \fg{}
}

\espacepara

\defi[s]{
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I
	
$\bullet~$la fonction $f$ est croissante sur I signifie que les valeurs de $f(x)$ augmentent quand $x$ augmente dans I
	
$\bullet~$la fonction $f$ est décroissante sur I signifie que les valeurs de $f(x)$ diminuent quand $x$ augmente dans I
	
$\bullet~$la fonction $f$ est constante sur I signifie que les valeurs de $f(x)$ restent égales à un même nombre
}

\espacepara

\methode{
Décrire les variations d'une fonction $f$, c'est indiquer sur quel(s) intervalle(s) la fonction $f$ est croissante, décroissante ou constante
}

\espacepara

\rmq[s]{
En allant de la gauche vers la droite, la courbe d'une fonction croissante \og monte \fg{} et celle d'une fonction décroissante \og descend \fg{}
	
La courbe d'une fonction constante est parallèle à l'axe des abscisses
}

\espacetitre

\subsection{Tableau de variations}

\prop[ - Méthode]{
Les variations d'une fonction peuvent être résumées dans un tableau, appelé \textbf{tableau de variation}
	
La première ligne du tableau contient les bornes des intervalles sur lesquels la fonction est croissante, décroissante ou constante
	
La deuxième ligne contient les flèches qui symbolisent le sens de variation de la fonction, ainsi que les images des valeurs de la première ligne
	
Les valeurs pour lesquelles la fonction n'est pas définie sont indiquée par une double barre verticale sur la deuxième ligne
}

\espacepara

\methode[s]{
Pour décrire les variations d'une fonction définie par sa courbe, on \og parcourt \fg{} celle-ci de la gauche vers la droite
	
Pour tracer une courbe à partir d'un tableau de variations, on commence par placer les points particuliers donnés par le tableau
}

\end{document}