\documentclass[a4paper, 11pt]{article}

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\newcommand{\nomfichier}{[2GT.CHAP09] Exercices}

\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}

\pdfinfo{
 /Author (Pierquet)
 /Title (\nomfichier)
}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Mai 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Fonctions du 2\up{d} degré $\leftrightsquigarrow$ Exercices Bilan}

\exonum{}\strut\lignetitre

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Les fonctions suivantes sont-elles des fonctions du second degré ?
	\begin{multicols}{4}
		\begin{enumerate}
			\item $x \mapsto x^2$
			\item $x \mapsto -x^2+x+41$
			\item $x \mapsto 2x^4+3x$
			\item $x \mapsto \sqrt{x}+x^2+1$
		\end{enumerate}
	\end{multicols}
	\item Parmi les fonctions suivantes, reconnaître les fonctions du second degré, et le cas échéant, identifier les coefficients ($a$, $b$ et $c$) :
	\begin{multicols}{3}
		\begin{enumerate}
			\item $f_1(x)=x(x-2)\strut$
			\item $f_2(x)=(2x-1)^2\strut$
			\item $f_3(x)=(x-2)^2-x(x+3)\strut$
		\end{enumerate}
	\end{multicols}
	\item Parmi les fonctions suivantes, reconnaître les formes canoniques, et le cas échéant, identifier les paramètres ($a$, $\alpha$ et $\beta$) :
	\begin{multicols}{3}
		\begin{enumerate}
			\item $g_1(x)=3(x+2)^2-3\vphantom{\dfrac12}$
			\item $g_2(x)=(x+1)^2+3x\vphantom{\dfrac12}$
			\item $g_3(x)=-\dfrac12 (x-0,5)^2+4\strut$
		\end{enumerate}
	\end{multicols}
\end{enumerate}

\bigskip

\exonum{}\strut\lignetitre

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Dresser le tableau de variations des fonctions suivantes, données sous forme canonique :
	\begin{multicols}{4}
		\begin{enumerate}
			\item $f(x)=(x+1)^2-2\vphantom{\dfrac12}$
			\item $g(x)=-3(x+5)^2+3\vphantom{\dfrac12}$
			\item $h(x)=\dfrac12x^2+6\vphantom{\dfrac12}$
			\item $i(x)=-0,1(x-32)^2\vphantom{\dfrac12}$
		\end{enumerate}
	\end{multicols}
	\item Associer à chaque fonction du second degré suivante sa courbe représentative :
	\begin{multicols}{4}
		\begin{enumerate}
			\item $f(x)=0,5(x-1)^2+2\strut$
			\item $g(x)=-2(x+2)^2+3\strut$
			\item $h(x)=0,1x^2-4\strut$
			\item $i(x)=-4(x-1)^2+2\strut$
		\end{enumerate}
		
	\end{multicols}
	\begin{center}
		\psset{algebraic=true,tickwidth=1pt,unit=0.8cm,labelsep=3pt}
		\defgrille{-5}{5}{1}{1}{-5}{5}{1}{1}
		\begin{pspicture*}(-5.25,-5.25)(5.25,5.25)
			\grillep{linewidth=0.4pt,linecolor=orange,linestyle=dashed}
			\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-5)(5,5)
			\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-1.48}{3.48}{0.5*(x-1)^2+2}
			\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-4}{0}{-2*(x+2)^2+3}
			\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=ForestGreen,plotpoints=200]{-5}{5}{0.1*x^2-4}
			\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=purple,plotpoints=200]{-5}{5}{-4*(x-1)^2+2}
		\end{pspicture*}
	\end{center}
	\item Résoudre les équations suivantes :
	\begin{multicols}{4}
		\begin{enumerate}
			\item $x^2=16$
			\item $x^2+4x-5=-5$
			\item $(x-2)(5x-3)=0$
			\item $2(x+1)^2-9=-9$
		\end{enumerate}
	\end{multicols}
\end{enumerate}

\newpage

\exonum{}\strut\lignetitre

\bigskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-2x^2+20x+22$. \hfill (\textit{forme développée réduite}).
\begin{enumerate}
	\item Montrer (en développant et/ou factorisant) que :
	\begin{enumerate}
		\item $f(x)=-2(x-11)(x+1)$ \hfill (\textit{forme factorisée})
		\item $f(x)=-2(x-5)^2+72$ \hfill (\textit{forme canonique})
	\end{enumerate}
	\item En utilisant la forme la plus adaptée :
	\begin{multicols}{2}
		\begin{enumerate}
			\item calculer $f(0)$ puis $f(5)$ ;
			\item dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$ ;
			\item résoudre l'équation $f(x)=0$ ;
			\item résoudre l'équation $f(x)=22$ ;
			\item résoudre l'équation $f(x)=72$ ;
			\item dresser le tableau de signes de $f(x)$.
		\end{enumerate}
	\end{multicols}
\end{enumerate}

\bigskip

\exonum{}\strut\lignetitre

\bigskip

Dans cet exercice (facultatif), on va donner deux méthodes pour déterminer la forme canonique d'un trinôme.

\begin{enumerate}
	\item \textbf{Méthode par identité remarquable}
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter les égalités suivantes :
		
		\tabu{}$\bullet~~x^2+6x=(x+\dots)^2-\dots$ puis $x^2+6x+50=(x+\dots)^2+\dots$
		
		\tabu{}$\bullet~~x^2-10x=(x-\dots)^2-\dots$ puis $x^2-10x+30=(x-\dots)^2+\dots$
		
		\tabu{}$\bullet~~x^2+3x=(x+\dots)^2-\dots$ puis $x^2+3x+5=(x+\dots)^2-\dots$
		\item Recopier et compléter les égalités suivantes :
		
		\tabu{}$\bullet~~3x^2+2x+8=3 \left[x^2+\dfrac23x+\dfrac83\right]=3 \left[\left(x+\vphantom{\dfrac12}\dots \right)^2-\dots+\dfrac83\right]$\smallskip
		
		\tabu{}$\phantom{\bullet~~3x^2+2x+8}=3 \left[\left(x+\vphantom{\dfrac12}\dots \right)^2+\dots\right]=3 \left(x+\vphantom{\dfrac12}\dots \right)^2+\dots$
		\item En reprenant la méthode précédente, trouver la forme canonique de $5x^2-6x+3$ puis de $2x^2-6x+15$.
	\end{enumerate}
	\item \textbf{Méthode par formules}
	
	Soit $f(x)=ax^2+bx+c$ une fonction du seconde degré ($a \neq 0$) ; on peut montrer que $f(x)=a \left(x-\alpha\right)^2+\beta$ avec \[ \alpha = \dfrac{-b}{2a} \quad \text{ et } \quad \beta = f(\alpha)=-\dfrac{\Delta}{4a} \quad \text{ où } \quad \Delta=b^2-4ac.  \] \smallskip
	Retrouver les formes canonique de :
	\begin{multicols}{3}
		\begin{enumerate}
			\item $f(x)=x^2-10x+30$
			\item $g(x)=x^2+6x+50$
			\item $h(x)=3x^2+2x+8$
		\end{enumerate}
	\end{multicols}
	\item Expliquer ce que fait le programme (en Python) suivant :
\begin{scriptpython}
\begin{pyverbatim}[][numbers=left]
from math import *
def programme(a,b,c):
	if a == 0:
		return "erreur !"
	else :
		alpha = -b/(2*a)
		delta = b**2-4*a*c
		beta = -delta/(4*a)
		return alpha,beta
\end{pyverbatim}
\end{scriptpython}
\end{enumerate}

\end{document}