\documentclass[a4paper, 12pt]{article}

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\newcommand{\nomfichier}{[2GT7.DM01] Une histoire d'ecluse}
\author{Pierquet}
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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{À rendre le ...}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT7 - Septembre 2017}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{DM01 - Une histoire d'écluse et de péniche}

\medskip

\titrexo{Première Partie}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item La longueur du Canal du Midi est de $240$~km de Toulouse à l'étang de Thau et la vitesse des embarcations y est limitée à $8$~km/h. 
	
	Combien de temps, au moins, faut-il pour effectuer ce trajet en péniche sans faire de pause ? 
	\item On assimilera une écluse à un pavé droit de $8,4$~m de large, de $30$~m de long et de $3$~m de hauteur. 
	
	Calculer le volume de cette écluse. 
	\item Le prix hebdomadaire de la location d'un bateau à moteur dépend de la période.
	
	Il est de 882~\euro{} du 01/01/2014 au 28/04/2014.
	
	Il augmente de 27\,\% pour la période du 29/04/2014 au 12/05/2014.
	
	Calculer le prix de la location pour cette période.
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Deuxième Partie}

\medskip

On étudie le remplissage d'une écluse pour faire passer une péniche de l'amont vers l'aval. 

\textbf{Principe :} Il s'agit de faire monter le niveau de l'eau dans l'écluse jusqu'au niveau du canal en amont afin que l'on puisse ensuite faire passer la péniche dans l'écluse. 

Ensuite, l'écluse se vide et le niveau descend à celui du canal en aval. La péniche peut sortir de l'écluse et poursuivre dans le canal en aval. 

\begin{center}
	\psset{unit=1cm}
	\begin{pspicture}(15,9)
	%\psgrid
	\def\vague{\pscurve(0,0.2)(0.25,0.25)(0.5,0)(0.75,-0.05)(1,-0.2)}
	\psframe*(0.5,3.7)(5.5,3.8)
	\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.5,1.2)(6,6)
	\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](10.6,1.2)(11.1,6)
	\psframe*(5.5,1.1)(15,1.2)
	\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(2.7,1.2)(2.7,5.4)
	\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(4.9,1.2)(4.9,2.3)\uput[l](4.9,1.7){$x$}
	\psline(0.9,5.45)(0.5,6.1)(5.1,6.1)(4.7,5.45)%bateau
	\psline(0.8,6.1)(0.8,6.5)(2.45,6.5)(2.6,6.1)%haut du bateau
	\pscurve(0,5.4)(2,5.5)(4,5.4)(5.6,5.5)%ligne sous bateau
	\pscurve(6,2.3)(8,2.2)(10,2.3)(12,2.2)(14,2.35)(15,2.3)% mer sous vantelles
	\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](10.6,1.2)(11.1,6)
	\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](5.3,4)(6.2,4.5)
	\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](10.5,1.6)(11.3,2)
	\psline(5.6,7.2)(5.6,8)
	\psline(11.1,7.2)(11.1,8)
	\psline{<->}(5.6,7.7)(11.1,7.7)
	\psline{->}(2.7,1.2)(2.7,5.4)\uput[r](2.7,3.3){$h$}
	\rput{30}(1.3,4.5){\vague}\rput{30}(3.3,4.5){\vague}\rput{30}(1.3,4){\vague}
	\rput{30}(4.3,4){\vague}
	\rput(2.6,8.5){Amont} 
	\rput(8.2,8){Écluse} 
	\rput(13.2,8.5){Aval} 
	\rput(14.3,6.85){Portes}\psline{->}(14.3,6.6)(5.8,5.3)\psline{->}(14.3,6.6)(10.8,5.3) 
	\rput(9.6,0.095){Radier}\psline{->}(9,0.3)(8,1.1)  
	\rput(13.8,3.5){Vantelles}\psline{->}(12.9,3.3)(5.8,4.3)\psline{->}(12.9,3.3)(11,1.8)
	\multido{\r=1.0+0.6}{6}{\rput(\r,5.8){\pscircle(0,0){3pt}}}
	\rput{30}(6.3,1.8){\vague} \rput{30}(9,1.8){\vague}\rput{30}(13,1.8){\vague}
	\rput{30}(8,1.2){\vague}\rput{30}(12.3,1.2){\vague}
	\psline[linestyle=dotted](2,1.2)(5.6,1.2)
	\psline[linestyle=dotted](4.7,2.3)(5.5,2.3)
	\end{pspicture}
\end{center}

Toutes les mesures de longueur sont exprimées en mètres. 

On notera $h$ la hauteur du niveau de l'eau en amont et $x$ la hauteur du niveau de l'eau dans l'écluse. 

Ces hauteurs sont mesurées à partir du radier (fond) de l'écluse. (voir schéma ci-dessus). Lorsque la péniche se présente à l'écluse, on a : $h = 4,3$~m et $x = 1,8$~m.

La vitesse de l'eau s'écoulant par la vantelle (vanne) est donnée par la formule suivante : 
\[v = \sqrt{2g(h - x)}\]

où $g = 9,81$ (accélération en mètre par seconde au carré noté m.s$^{-2}$) et $v$ est la vitesse (en mètre par seconde noté m.s$^{-1}$) 

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Calculer l'arrondi à l'unité de la vitesse de l'eau s'écoulant par la vantelle à l'instant de son ouverture.
	(On considère l'ouverture comme étant instantanée). 
	\item Pour quelle valeur de $x$, la vitesse d'écoulement de l'eau sera-t-elle nulle ? Qu'en déduit-on pour le niveau de l'eau dans l'écluse dans ce cas ? 
	\item Le graphique donné en annexe 2 représente la vitesse d'écoulement de l'eau par la vantelle en fonction du niveau $x$ de l'eau dans l'écluse. 
	
	Déterminer, par lecture graphique, la vitesse d'écoulement lorsque la hauteur de l'eau dans l'écluse est de $3,4$~m. 
\end{enumerate}

\begin{center}
	\psset{unit=1cm}
	\begin{pspicture}(-2,-1)(6,9)
	\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,gridcolor=SkyBlue,subgridcolor=SkyBlue](6,9)
	\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.9,-0.5)(6,9)
	\uput[u](5.5,0){hauteur (m)}
	\uput[l](0,8.8){vitesse m/s}
	\uput[r](0,8.8){$v$}
	\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.5pt,linecolor=red]{1.8}{4.3}{4.3 x sub 18.62 mul 0.5 exp}
	\uput[dl](0,0){0}
	\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\titrexo{Troisième Partie}

\medskip 

Le débit moyen $q$ d'un fluide dépend de la vitesse moyenne $v$ du fluide et de l'aire de la section d'écoulement d'aire $S$. Il est donné par la formule suivante : 
\[q = S \times v\]

où $q$ est exprimé en m$^3$.s$^{-1}$ ; $S$ est exprimé en m$^2$ ; $v$ est exprimé en m.s$^{-1}$. 

Pour cette partie, on considérera que la vitesse moyenne d'écoulement de l'eau à travers la vantelle durant le remplissage est $v = 2,8$ m.s$^{-1}$.

La vantelle a la forme d'un disque de rayon $R = 30$~cm. 

\begin{enumerate}
	\item Quelle est l'aire exacte, en m$^2$, de la vantelle ? 
	\item Déterminer le débit moyen arrondi au millième de cette vantelle durant le 
	remplissage. 
	\item Pendant combien de secondes, faudra-t-il patienter pour le remplissage d'une écluse de capacité 756 m$^3$ ? Est-ce qu'on attendra plus de $15$~minutes ?
\end{enumerate}

\end{document}