\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
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\newcommand{\nomfichier}{[2GT.DM05] Géométrie et fonction}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{À rendre avant le ...}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Novembre 2017}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{DM05 - Géométrie et fonction\dots encore ??}

\parpic[r]{\includegraphics[width=4cm]{graphics/dm11_arc}}La figure ci-contre (pas à l'échelle) représente un quart de cercle $\arc{BC}$ de rayon 6~cm.

Le point $M$ décrit le segment $[AB]$. Pour chaque position de $M$, on construit le rectangle $AMNP$, où $N$ et $P$ appartiennent respectivement à l’arc $\arc{BC}$ et à $[AC]$.
%\begin{center}
%\includegraphics[width=4cm]{graphics/dm11_arc}
%\end{center}

\smallskip

Existe-t-il une position du point $M$ pour laquelle l’aire obtenue soit maximale ? Le but de ce DM est de répondre à cette question...

\bigskip

\titrexo{Partie A : vers une solution}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure lorsque $AM=4,5$~cm.
		\item Calculer la longueur $MN$.
		\item Donner une valeur approchée de l’aire du rectangle $AMNP$ (en cm²).
	\end{enumerate}
	\item Recommencer lorsque $AM=2,5$~cm.
	\item En faisant varier $M$, on a construit le tableau de valeurs ci-dessous. En utilisant ce tableau, peut-on résoudre le problème posé ? Est-on sûr qu’un seul point $M$ convient ?
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{15cm}{|l|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
			\hline
			$AM$ & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 & 3 & 3,5 & 4 & 4,5 & 5 & 5,5 \\
			\hline
			Aire de $AMNP$ & 5,4 & 8,7 & 11,3 & & 15,6 & 16,6 & 17,6 & & 16,5 & 13,5 \\
			\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\titrexo{Partie B : à l’aide d’une fonction}

\medskip

Pour trouver avec plus de précision le ou les points $M$ convenant, on peut chercher une formule exprimant l’aire de $AMNP$ en fonction de la longueur $AM$.

On désigne par $x$ la longueur $AM$ (en cm) et $f(x)$ l’aire (en cm²) du rectangle $AMNP$.

\begin{enumerate}
	\item À quel intervalle appartient $x$ ?
	\item Calculer $MN$ en fonction de $x$. Puis démontrer que $f(x)=x \sqrt{36-x^2}$.
	\item En utilisant une calculatrice, construire un tableau de valeurs de $f(x)$ ($x$ variant de 0 à 6 avec un pas de 0,5). Comparer avec le tableau de \textbf{A.}\ptno{3}.
	\item Construire la représentation graphique de $f$ dans un repère orthogonal. On choisira les unités ainsi :
	
	\tabu{}- sur l’axe des abscisses, une longueur de 1~cm est représentée par 2~cm (ou 2 carreaux) ;
	
	\tabu{}- sur l’axe des ordonnées, une aire de 1~cm² est représentée par 0,5~cm (ou 0,5 carreau).
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle réponse le tableau de valeurs ou le graphique permettent-ils de donner ?
		\item En utilisant la calculatrice, construire un nouveau tableau de valeurs (arrondies à $10^{-5}$) pour $f(x)$ lorsque $x$ varie de 4,2 à 4,3 avec un pas de 0,01.
		\item Faire de même (valeurs arrondies à $10^{-7}$) lorsque $x$ varie de 4,24 à 4,25, avec un pas de 0,001.
		\item Quelles approximations peut-on alors donner pour l’aire maximale du rectangle $AMNP$ et pour la longueur $AM$ ?
	\end{enumerate}
	On admet que l’aire maximale est égale à 18 cm² lorsque $AM=3\sqrt{2}$~cm. Faire la figure.
	\item Combien de positions du point $M$ correspondent à une aire de 14~cm² ?
	
	Expliquer pourquoi répondre à cette question équivaut à trouver le nombre de solutions de $f(x)=14$. Résoudre graphiquement l’équation et conclure.
	\item Quelles sont les positions du point $M$ telles que l’aire de $AMNP$ soit supérieure ou égale à 12~cm² ? inférieure ou égale à 6~cm² ?
\end{enumerate}

\end{document}