\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
\usepackage{cp-sujet}
\newcommand{\nomfichier}{[2GT.DM13] Distance de freinage - Correction}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfstartview=FitH}
\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre le ...}}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Mai 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Correction du DM14}

\titrexo{A. Temps de réaction et distance de freinage}

\begin{enumerate}
	\item On utilise la formule bien connue $v=\dfrac{d}{t}$
	
	Ici on donne $v=100$ et $t=2$~s or 2~s correspondent à $2 \times \dfrac{1}{3600}$~h
	
	Ainsi $d=v \times t = 100 \times \dfrac{2}{3600} = \dfrac{1}{18}$~km, qui donne environ 0,05556~km soit 55,56~m
	\item Dans cette question on connaît $t=\times \dfrac{2}{3600}$~s et donc on obtient $d= v \times t = \dfrac{2}{3600}v$ (en km)
	
	En considérant les unités, on obtient $d=1000 \times \dfrac{2}{3600}v=\dfrac59v$ (en m)
	\item L'énoncé nous donne le fait que \og deux traits \fg{} correspondent à 38+38+14=90~m
	
	On a donc $d=\dfrac59v \Rightarrow v=d \times \dfrac95 = 90 \times \dfrac95 = 162$~km.h$^{-1}$
	
	Donc à une vitesse inférieure à 162~km.h$^{-1}$, on a \og 2 traits = sécurité \fg{}
\end{enumerate}

\smallskip

\titrexo{B. Distances d'arrêt sur sol sec}

\begin{enumerate}
	\item On sait que $d_F(v)=d_S(v)+d_A(v)=0,006v^2+0,03v+\dfrac59v=0,006v^2+\left(0,03+\dfrac59\right)v$
	
	Or $0,03+\dfrac59 \approx 0,586$ donc on obtient bien l'approximation $d_A(v)=0,006v^2+0,586v$
	\item Si $v=130$, on obtient $d_A(130)=177,58$ soit 177,58~m
	\item En utilisant la calculatrice -- la fonction TABLE -- on conjecture que la fonction $d_A$ est croissante
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On cherche à résoudre $d_A(v) < 50 \ssi 0,006v^2+0,586v < 50 \ssi 0,006v^2+0,586v-50 <0$
		
		À l'aide du logiciel de calcul formel, on obtient la factorisation :
		
		$0,006v^2+0,586v-50=0,006(v-\alpha)(v-\beta)$ avec $\begin{dcases} \alpha \approx 54,69 \\ \beta \approx -152,36\end{dcases}$
		
		Un rapide tableau de signes (à partir de 0 puisque $v$ est une vitesse !) donne :
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$v$/1,$v-\alpha$/1,$v-\beta$/1,$P$/1}{$0$,$\alpha$, $+\infty$}
			\draw[fill=red!25,fill opacity=0.75](T13) rectangle (N24);
			\tkzTabLine{,-,z,+,}
			\tkzTabLine{,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,-,z,+,}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		La vitesse doit donc être inférieure à 55~km.h$^{-1}$ environ
		\item De même avec l'inéquation $d_A(v) < 100$ qui se transforme à l'aide du logiciel de calcul formel
		
		$0,006v^2+0,586v-100=0,006(v-\eta)(v-\delta)$ avec $\begin{dcases} \eta \approx 89,19 \\ \delta \approx -186,86\end{dcases}$
		
		Un rapide tableau de signes (à partir de 0 puisque $v$ est une vitesse !) donne :
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$v$/1,$v-\eta$/1,$v-\delta$/1,$P$/1}{$0$,$\eta$, $+\infty$}
			\draw[fill=red!25,fill opacity=0.75](T13) rectangle (N24);
			\tkzTabLine{,-,z,+,}
			\tkzTabLine{,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,-,z,+,}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		La vitesse doit donc être inférieure à 90~km.h$^{-1}$ environ
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\titrexo{C. Distances d'arrêt sur sol mouillé}

\medskip

Dans ce cas, on modifie la formule $d_F(v)=(0,006v^2+0,03v) \times 1,4 = 0,0084v^2+0,42v$

De ce fait on a la nouvelle formule approximative $d_A(v)= 0,0084v^2+0,598v$

On utilise de plus le logiciel de calcul formel

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{graphics/dm14_xcasv2}
\end{center}

\begin{itemize}
	\item on cherche $d_A(v) < 50$ ce qui donne, à l'aide du logiciel de calcul formel :
	
	$0,0084(v-\mu)(v-\epsilon)<0$ avec avec $\begin{dcases} \mu \approx 49,37 \\ \epsilon \approx -120,56\end{dcases}$
	
	Un rapide tableau de signes (à partir de 0 puisque $v$ est une vitesse !) donne :
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit{$v$/1,$v-\mu$/1,$v-\epsilon$/1,$P$/1}{$0$,$\mu$, $+\infty$}
		\draw[fill=red!25,fill opacity=0.75](T13) rectangle (N24);
		\tkzTabLine{,-,z,+,}
		\tkzTabLine{,+,t,+,}
		\tkzTabLine{,-,z,+,}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	La vitesse doit donc être inférieure à 50~km.h$^{-1}$ environ
	\item on cherche $d_A(v) < 100$ ce qui donne, à l'aide du logiciel de calcul formel :
	
	$0,0084(v-\theta)(v-\kappa)<0$ avec avec $\begin{dcases} \theta \approx 79,17 \\ \kappa \approx -150,36 \end{dcases}$
	
	Un rapide tableau de signes (à partir de 0 puisque $v$ est une vitesse !) donne :
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit{$v$/1,$v-\theta$/1,$v-\kappa$/1,$P$/1}{$0$,$\theta$, $+\infty$}
		\draw[fill=red!25,fill opacity=0.75](T13) rectangle (N24);
		\tkzTabLine{,-,z,+,}
		\tkzTabLine{,+,t,+,}
		\tkzTabLine{,-,z,+,}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	La vitesse doit donc être inférieure à 80~km.h$^{-1}$ environ
\end{itemize}

\end{document}