\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
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\newcommand{\nomfichier}{[2GT.CHAP06] Exos bilan - Correction}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
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\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre le ...}}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Février 2018}}
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\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Vecteurs $\leftrightsquigarrow$ Éléments de correction}

\titrexo{À savoir faire !}

\begin{itemize}
	\item Placer un point définie par une relation vectorielle
	\item Travailler sur les coordonnées de vecteurs (égaux, colinéaires, relation vectorielle)
\end{itemize}

\medskip

\titrexo{Exercice 2}

\begin{enumerate}
	\item $\vect{DE}+\vect{EG}=\vect{DG}$ et $\vect{GE}-\vect{IE}+\vect{CG}=\vect{GE}+\vect{EI}+\vect{CG}=\vect{GI}+\vect{CG}=\vect{CG}+\vect{GI}=\vect{CI}$
	\item $\vect{AB}+\vect{EA}=\vect{EB}$ et $\vect{GB}+\vect{BO}= \vect{GO}$ et $\vect{LP}+\vect{PL}= \vect{0}$
	\item La colinéarité de deux vecteurs ($\vect{u}=k \times \vect{v}$) peut-être utilisée pour démontrer que les droites sont parallèles ou que des points sont alignés
	\item Avec le produit en croix : $(x+2)(x+1)=x(x-1) \ssi x^2+x+2x+2=x^2-x \ssi 3x+2=-x \ssi 4x=-2 \ssi x=-0,5$
	\item On a $\vect{EB}=\dfrac12 \vect{AB}=\dfrac12 \vect{DC}=\vect{DF}$ ainsi EBFD est un parallélogramme
\end{enumerate}

\titrexo{Exercice 3}

\begin{enumerate}
	\item On a $\vect{CD} \coordeux{-6}{-9}$ et $\vect{CE} \coordeux{-2}{-3}$ qui sont colinéaires ($\times 3$) donc C, D et E alignés
	\item On a $\vect{AB} \coordeux{11}{19}$ et $\vect{CD} \coordeux{-6}{-9}$ ; or $\left. \begin{array}{r} 11 \times (-9)=-99\phantom{4} \\ 19 \times (-9)=-114 \end{array} \right\rbrace \Rightarrow$ vecteurs non colinéaires, et donc droites non //
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Exercice 4}

\begin{enumerate}
	\item On a $\vect{OM} \coordeux{8}{-6}$ et $\vect{OP} \coordeux{2}{-1,5}$ colinéaires ($\times 4$) donc O, M et P alignés
	\item On a $\vect{AM} \coordeux{6}{-1,5}$ ; $\vect{AP} \coordeux{0}{3}$ et donc $\vect{AM}+\vect{AP} \coordeux{6}{1,5}$ puis on a $\dfrac14 \vect{AM} \coordeux{1,5}{0,375}$ et $-\vect{AP} \coordeux{0}{-3}$
\end{enumerate}	

\bigskip

\titrexo{Exercice 5}

\begin{enumerate}
	\item Avec une petite figure, on doit avoir $\vect{XY}=\vect{TZ} \ssi \coordeux{4}{2}=\coordeux{2-x}{3-y} \ssi \begin{dcases} 4=2-x \\ 2=3-y \end{dcases} \ssi \begin{dcases} x=-2 \\ y=1 \end{dcases}$
	\item On a $I = \text{mil}[XZ]$ soit $I \coordpl{1,5}{1}$
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Exercice 7}

On considère les points $A(2\,;\,1)$, $B(-2\,;\,3)$ et $C(-1\,;\,-1)$.

\begin{enumerate}
	\item $\vect{BM}=\vect{CA}+\vect{BA} \ssi \coordeux{x+2}{y-3}=\coordeux{3}{2}+\coordeux{4}{-2}=\coordeux{7}{0} \ssi \begin{dcases} x=5 \\ y=3 \end{dcases}$
	\item $\vect{CN}=2\vect{AB}-3\vect{AC} \ssi \coordeux{x+1}{y+1} = 2\coordeux{-4}{2}-3\coordeux{-3}{-2}=\coordeux{1}{10} \begin{dcases} x=0 \\ y=9 \end{dcases}  $
	\item $\vect{AP}=\dfrac12 \vect{AB}+2\vect{CP} \ssi \coordeux{x-2}{y+1}=\dfrac12 \coordeux{-4}{2}+2\coordeux{x+1}{y+1} \ssi \coordeux{x-2}{y-1}=\coordeux{-2+2x+2}{1+2y+2}=\coordeux{2x}{2y+3} \ssi \begin{dcases} x=-2 \\ y=-4 \end{dcases}$
\end{enumerate}



\end{document}