\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\usepackage[rev]{cp-sujet}
\newcommand{\nomfichier}{[2GT7.DS04] Affines, stats - Correction}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfstartview=FitH}  

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT7 - Janvier 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Correction du DS04}

\exonum{2,5 points}
\begin{enumerate}
	\item On trace la droite demandée
	\begin{center}
		\psset{algebraic=true,tickwidth=1pt,unit=1cm}
		\defgrille{-4}{3}{0.5}{1}{-3}{6}{0.5}{1}
		\begin{pspicture*}(-4,-3)(3,6)
		\grillep{linewidth=0.75pt,linestyle=dashed,linecolor=orange}
		\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4,-3)(3,6)
		\psplot[linewidth=1.75pt,linecolor=red]{-5}{5}{-2*x-1}
		\psdots[dotscale=1.25,linecolor=purple](-3,5)(0.5,-2)
		\end{pspicture*}
	\end{center}
	\item On note $y=mx+p$ une équation de $(AB)$ (non verticale)
	\begin{itemize}
		\item il semblerait que $p=-1$ et que $m=\dfrac{DV}{DH}=\dfrac{-7}{3,5}=-2$ de sorte que $(AB)$ : $y=-2x-1$
		\item par calculs on a $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-2-5}{0,5-(-3)}=-2$ donc $y=-2x+p$
		
		et avec $A\coordpl{-3}{5}$, on obtient $5=-2 \times (-3)+p \Rightarrow 5-6=-1$
	\end{itemize}
	\item On teste si les coordonnées de C vérifient l'équation de $(AB)$ :
	
	$-2 \times x_C-1=-2 \times 0,74-1=-2,48 \neq y_C$ donc $C \notin (AB)$
	\item $-2x-1 \pp 0 \ssi -2x \pp 1 \ssi x {\red \pg} \dfrac{1}{-2}=-0,5$ et ainsi $\mathcallig{S}=\intervFO{-0,5}{+\infty}$
	
	NB : on peut retrouver le résultat graphiquement en regardant où $(AB)$ est en-dessous de l'axe des abscisses
\end{enumerate}

\bigskip

\exonum{2,5 points}

\medskip

Le graphique fourni permet de lire graphiquement les équations :
\begin{itemize}
	\item $\mathcallig{D}_1$ : $x=3$ car elle est verticale
	\item $\mathcallig{D}_2$ : $y=\dfrac{1}{4}x-2$
	\item $\mathcallig{D}_3$ : $y=2$ car elle est horizontale
	\item $\mathcallig{D}_4$ : $y=3x+4$
\end{itemize}

\bigskip

\exonum{5 points}

\begin{enumerate}
	\item Pour les tds :
	\begin{enumerate}
		\item $(x+2)(x-5)$, on peut car c'est un produit de $mx+p$
		\begin{itemize}
			\item $x+2=0 \ssi x=-2$ et $m=1$ donc $\oplus$ \og après \fg{}
			\item $x-5=0 \ssi x=5$ et $m=1$ donc $\oplus$ \og après \fg{}
		\end{itemize}
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/1,$x+2$/1,$x-5$/1,expr/1}{$-\infty$,${-2}$,${5}$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,-,t,-,t,+,}
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\item $\dfrac{1-x}{2x-12}$, on peut car c'est un quotient de $mx+p$
		\begin{itemize}
			\item $1-x=0 \ssi x=1$ et $m=-1$ donc $\ominus$ \og après \fg{}
			\item $2x-12=0 \ssi x=6$ et $m=2$ donc $\oplus$ \og après \fg{}
		\end{itemize}
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/1,$1-x$/1,$2x-12$/1,expr/1}{$-\infty$,${1}$,${6}$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,t,-,}
			\tkzTabLine{,-,t,-,t,+,}
			\tkzTabLine{,-,z,+,d,-,}
			\draw(N31) node[above]{{\footnotesize \red D}};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\item $\dfrac{(x+2)^2}{x}=\dfrac{(x+2)(x+2)}{x}$, on peut car c'est un quotient/produit de $mx+p$
		\begin{itemize}
			\item $x+2=0 \ssi x=-2$ et $m=1$ donc $\oplus$ \og après \fg{}
			\item $x=0$ et $m=1$ donc $\oplus$ \og après \fg{}
		\end{itemize}
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/1,$x+2$/1,$x+2$/1,$x$/1,expr/1}{$-\infty$,${-2}$,${0}$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
			\tkzTabLine{,-,z,-,d,+,}
			\draw(N31) node[above]{{\footnotesize \red D}};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\item $4-\dfrac{3}{-3x+5}$, on ne peut pas (encore), il faut mettre au même dénominateur
		\begin{itemize}
			\item $4-\dfrac{3}{-3x+5}=\dfrac{4 \times(-3x+5)}{-3x+5}-\dfrac{3}{-3x+5}=\dfrac{-12x+20}{-3x+5}-\dfrac{3}{-3x+5}=\dfrac{-12x+17}{-3x+5}$ et là on peut
			\item $-12x+17=0 \ssi x=\dfrac{17}{12}$ et $m=-12$ donc $\ominus$ \og après \fg{}
			\item $-3x+5=0 \ssi x=\dfrac{5}{3}$ et $m=-3$ donc $\ominus$ \og après \fg{}
		\end{itemize}
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/1,$-12x+17$/1,$-3x+5$/1,expr/1}{$-\infty$,${17/12}$,${5/3}$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,t,-,}
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}
			\tkzTabLine{,+,z,-,d,+,}
			\draw(N31) node[above]{{\footnotesize \red D}};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On utilise IR3 pour factoriser :
		
		$f(x)=9x^2-(6x-3)^2 = (3x)^2-(6x-3)^2=[3x-(6x-3)][3x+(6x-3)]=(-3x+3)(9x-3)$
		\item On peut déterminer son tableau de signes car c'est un produit de $mx+p$
		\begin{itemize}
			\item $-3x+3=0 \ssi x=1$ et $m=-3$ donc $\ominus$ \og après \fg{}
			\item $9x-3=0 \ssi x=\dfrac{1}{3}$ et $m=9$ donc $\oplus$ \og après \fg{}
		\end{itemize}
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/1,$-3x+3$/1,$9x-3$/1,expr/1}{$-\infty$,${1/3}$,${1}$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exonum{7 points}

\smallskip

 \begin{enumerate} 
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On complète le tableau :
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
			Salaires en euros & 1200 & 1400 & 1900 & 2400 & 2700 & 3500 & 4500\\ \hline
			Effectifs & 10 & 12 & 10 & 8 & 5 & 3 & 2 \\ \hline
			ECC & 10 & 22 & 32 & 40 & 45 & 48 & 50 \\ \hline
		\end{tabularx}
		\end{center}
		\item On a $N=50$
		\begin{itemize}
			\item $\dfrac{N}{2}=25$ donc $\text{méd}=\dfrac{25\ieme+26\ieme}{2}=\dfrac{1900+1900}{2}=1900$
			\item $0,25 \times 50=12,5$ donc $Q1=13\ieme=1400$
			\item $0,75 \times 50=37,5$ donc $Q1=13\ieme=2400$
		\end{itemize}
		\item Pour le salaire moyen, on doit calculer $\overline{x}=\dfrac{1200 \times 10 + \dots + 4500 \times 2}{50}=2000$ soit \np{2000}\,\euro
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On complète le tableau en regroupant en classes :
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
			Salaires en euros & [1200\,;\,2000[ & [2000\,;\,3000[ & [3000\,;\,4000[ & [4000\,;\,4500] \\ \hline
			Effectifs & 32 & 13 & 3 & 2 \\ \hline
			ECC & 32 & 45 & 48& 50\\ \hline
		\end{tabularx}
		\end{center}
		\item On trace la courbe des ECC en utilisant les \og points \fg{} lus sur le tableau :
		\begin{center}
			\psset{xunit=0.00375cm,yunit=0.15cm,algebraic=true,tickwidth=1pt}
			\defgrille{0}{3400}{100}{100}{0}{55}{2.5}{2.5}
			\begin{pspicture}(0,0)(3400,55)
				\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
				\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
				\grillep{linewidth=0.6pt,linecolor=orange}
				\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=1200,Dx=200,Dy=5]{->}(0,0)(3400,55)
				\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,0)(800,32)(1800,45)(2800,48)(3300,50)
				\psdots[linecolor=blue,dotscale=1.5](0,0)(800,32)(1800,45)(2800,48)(3300,50)
				\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=purple]{->}(0,12.5)(312.5,12.5)(312.5,0)
				\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=purple]{->}(0,25)(625,25)(625,0)
				\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=purple]{->}(0,37.5)(1223.08,37.5)(1223.08,0)
			\end{pspicture}
		\end{center}
		\item On trace trois traits, de hauteur 12,5 ; 25 et 37,5 pour estimer :
		\begin{itemize}
			\item $\text{méd} \approx 1850$
			\item $Q_1 \approx 1500$
			\item $Q_3 \approx 2400$
		\end{itemize}
	\end{enumerate}
	\item Pour le pourcentage de la masse salariale totale perçue par les 10\% des salariés les mieux rémunérés :
	\begin{itemize}
		\item la masse salariale totale est de $1200 \times 10 + \dots + 4500 \times 2 = 100000$ soit \np{100000}\euro
		\item les 10\,\% des salariés les mieux rémunérés sont les \og 5 derniers \fg{} dans le tableau
		\item ceux-ci ont une masse salariale de $3500 \times 3 + 4500 \times 2 = 19500$ soit \np{19500}\,\euro
	\end{itemize}  
	Ainsi le pourcentage de la masse salariale totale perçue par les 10\% des salariés les mieux rémunérés est de $\dfrac{19500}{100000}=19,5$\,\%
\end{enumerate}

\bigskip

\exonum{3 points}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour un trajet de 18~km :
		\begin{itemize}
			\item Bleus : $1,20 \times 18 = 24,4$ donc une course de 24,4\,\euro
			\item Jaunes : $10+0,80 \times 18 = 21,6$ donc une course de 21,6\,\euro
		\end{itemize}
		Il faut donc utiliser la compagnie de taxis jaunes
		\item Pour un trajet de 30~km :
		\begin{itemize}
			\item Bleus : $1,20 \times 30 = 36$ donc une course de 36\,\euro
			\item Jaunes : $10+0,80 \times 36 = 34$ donc une course de 34\,\euro
		\end{itemize}
		Il faut donc utiliser la compagnie de taxis bleus
	\end{enumerate}
	\item D'après les questions précédentes, on a directement $\begin{dcases} B(x)=1,20x \\ J(x)=10+0,80x \end{dcases}$
	\item On cherche dans cette question à résoudre $J(x) < B(x)$ et :
	
	$J(x) < B(x) \ssi 10+0,80x < 1,20x \ssi 10 < 0,40x \ssi \dfrac{10}{0,40} < x \ssi x > 25$
	
	Donc pour une distance strictement supérieure à 25~km, il est plus avantageux de choisir la compagnie des taxis jaunes
\end{enumerate}

\end{document}