\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\usepackage{cp-sujet}
\newcommand{\nomfichier}{[2GT.CHAP10] Echantillonnage}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfstartview=FitH}
\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre le ...}}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Chapitre 10}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Échantillonnage, estimation}

\section{Échantillonnage}

\subsection{Définition}

\defi{
Dans le sens des sondages, un \textbf{échantillon} est une \og partie \fg{} obtenue par prélèvement aléatoire dans une population

En statistique, un échantillon de taille $n$ est obtenu après $n$ répétitions d’une même expérience aléatoire à deux résultats (0 et 1)
}

\espacepara

\rmq{
On dit que l’échantillon relève du modèle de \textbf{Bernoulli}
}

\espacetitre

\subsection{Fluctuation}

\defi[ - Propriété]{
Les distributions (répartitions) des fréquences varient d’un échantillon à l’autre

Ce phénomène est appelé \textbf{fluctuation d’échantillonnage}
}

\espacepara

\rmq{
Plus la taille de l'échantillon augmente, plus les fréquences observées se rapprochent de $p$
}

\espacetitre

\section{Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance}

\subsection{Intervalle de fluctuation}

\prop{
Les statisticiens ont établis que, pour environ 95\,\% des échantillons de taille $n$ relevant du modèle de Bernoulli de probabilité $p$, la fréquence d’apparition $f$ du 1 est dans l’intervalle $\intervFF{p- \dfrac{1}{\sqrt{n}}}{p+ \dfrac{1}{\sqrt{n}}}$
}

\espacepara

\rmq{
Cet intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% n’est valable que lorsque $n \pg 25$ et $0,2 \pp p \pp 0,8$

On parle des \og conditions de validité \fg{}

Il n'existe pas d'intervalle -- hormis $\intervFF{0}{1}$ -- dans lequel on trouverait $f$ avec certitude
} 

\espacepara

\defi[s]{
La valeur $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ est appelée la marge d’erreur (ou précision) au seuil de 95\,\%

La valeur $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$ est l'amplitude de l'intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\%
}

\newpage

\subsection{Prise de décision}

\cadre{
Dans cette situation, on connaît la proportion réelle $p$ dans la population, et on cherche à savoir si un échantillon (pour laquelle on connaît la fréquence $f$) est compatible avec le modèle
}

\espacepara

\prop{
Pour tester si un échantillon (fréquence $f$) est compatible avec un modèle de Bernoulli (probabilité $p$), on regarde si $f$ est dans l’intervalle $\intervFF{p- \dfrac{1}{\sqrt{n}}}{p+ \dfrac{1}{\sqrt{n}}}$ :
\begin{itemize}
	\item si non, on peut rejeter l’hypothèse que l’échantillon soit compatible, au risque de 5\,\% de se tromper
	\item si oui, on ne peut pas rejeter l’hypothèse que l’échantillon soit compatible
\end{itemize}
}

\espacetitre

\subsection{Intervalle de confiance}

\cadre{
On cherche à estimer la proportion réelle ($p$) connaissant la fréquence ($f$) d’un échantillon
}

\espacepara

\prop{
L’intervalle $\intervFF{f- \dfrac{1}{\sqrt{n}}}{f+ \dfrac{1}{\sqrt{n}}}$ est l’intervalle de confiance (ou de sondage) au niveau 0,95 de $p$

C’est-à-dire qu’il y a 95\,\% de chances que la proportion réelle soit dans cet intervalle, il y a donc toujours un risque de 5\,\% de se tromper
}

\espacetitre

\section{Bilan \og schématique \fg{}}

\illustr{
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	%\draw [very thin, gray!15] (0,0) grid (15,10);
	\draw [very thick,red] (3,6) ellipse (3cm and 4cm);
	\draw (3,6) node{{\Huge $\times$}};
	\draw (2,7.5) node{{\Huge $\times$}};
	\draw (4.5,5) node{{\Huge $\times$}};
	\draw (4.75,3.5) node{{\Huge $\times$}};
	\draw (2,4.25) node{{\Huge $\times$}};
	\draw (4.5,9) node{{\Huge $\times$}};
	\draw (3,8) node{\blue {\Huge $\times$}};
	\draw (1.5,3) node{\blue {\Huge $\times$}};
	\draw (3.5,5) node{\blue {\Huge $\times$}};
	\draw (5,7) node{\blue {\Huge $\times$}};
	\draw (1.5,5.5) node{\blue {\Huge $\times$}};
	\draw [very thick,red] (12,6) ellipse (1.75cm and 2.5cm);
	\draw (12,6) node{{\Huge $\times$}};
	\draw (13,5) node{\blue {\Huge $\times$}};
	\draw (11,4.5) node{{\Huge $\times$}};
	\draw (12.25,7.5) node{\blue {\Huge $\times$}};
	\draw (11.25,6.5) node{{\Huge $\times$}};
	\draw (3,0.5) node[draw,red]{{\black population} $:=$ {\blue proportion $p$}};
	\draw (12,0.5) node[draw,red]{{\black échantillon} $:=$ {\blue fréquence $f$}};
	\draw [->,line width=4pt,color=ForestGreen] (6,7) -- (10.3,7) node [sloped,above,midway] {échantillonnage de $f$};
	\draw [<-,line width=4pt,color=Purple] (6,5) -- (10.3,5) node [sloped,above,midway] {estimation de $p$};
	\draw [->,line width=2pt,dashed,color=Sepia] (3,2) -- (3,0.77);
	\draw [->,line width=2pt,dashed,color=Sepia] (12,3.5) -- (12,0.77);
	\end{tikzpicture}
	\smallskip
\end{center}
}


\end{document}