\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
\usepackage{cp-sujet}
\newcommand{\nomfichier}{[2GT4.DS08] Probas, second degre.tex}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfstartview=FitH}
\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre le ...}}}
\fancypagestyle{enteteds}{\fancyhead[L]{\entete{Durée : 1 heure}}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT4 - Mercredi 30 Mai 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\thispagestyle{enteteds}

\grandtitre{DS08 - Second degré, probabilités}

\nomprenom

\bigskip

\exonum{3}\strut\lignetitre %exo1

\bigskip

On donne, dans le repère suivant, quatre paraboles notées $\mathcallig{P}_1$, $\mathcallig{P}_2$, $\mathcallig{P}_3$ et $\mathcallig{P}_4$.
\begin{center}
	\psset{tickwidth=1.25pt,algebraic=true}
	\defgrille{-5}{5}{1}{0.5}{-5}{5}{1}{0.5}
	\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
		\grilles{linewidth=0.5pt,linecolor=orange}
		\grillep{linewidth=0.75pt,linecolor=orange}
		\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-5)(5,5)
		\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-5}{1.5}{-0.5*(x+2)^2+1}
		\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-5}{2}{0.25*(x+2)^2+1}
		\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=purple,plotpoints=200]{1.25}{4.74}{-x^2+6*x-11}
		\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=ForestGreen,plotpoints=200]{-0.44}{3.44}{2*(x-1.5)^2-2.5}
		\rput(-4,2.75){\large \textcolor{blue}{$\mathcallig{P}_1$}}
		\rput(-4,-1.83){\large \textcolor{red}{$\mathcallig{P}_3$}}
		\rput(4.5,-3){\large \textcolor{purple}{$\mathcallig{P}_4$}}
		\rput(3.5,2.5){\large \textcolor{ForestGreen}{$\mathcallig{P}_2$}}
	\end{pspicture}
\end{center}
En expliquant la démarche, associer à chacune des quatre fonctions (du second degré) suivantes, la parabole qui la représente :
\begin{multicols}{2}
	\begin{itemize}
		\item $f(x)=-0,5(x+2)^2+1$
		\item $g(x)=2(x-1,5)^2-2,5$
		\item $h(x)=-x^2+6x-11$
		\item $k(x)=0,25(x+2)^2+1$
	\end{itemize}
\end{multicols}

\exonum{6}\strut\lignetitre %exo2

\bigskip

Les classes de terminales S d’un lycée comptent 90 élèves.
Ces élèves ont le choix entre quatre spécialités : Mathématiques (M) ; Physique-Chimie (PC) ; Science de la Vie et de la Terre (SVT) ; Informatique et Sciences du Numérique (ISN).
Les élèves se répartissent comme suit :
\begin{center}
	\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
	\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{6}{Y|}}
		\cline{2-6}
		\multicolumn{1}{c|}{} & M & PC & SVT & ISN & Total \\ \hline
		Garçon & 18 & 12 & 10 & 14 & 54 \\ \hline
		Fille &	18 & 5 & 7 & 6 & 36 \\ \hline
		Total & 36 & 17 & 17 & 20 & 90 \\ \hline
	\end{tabularx}
\end{center}

On choisit un élève de terminale S au hasard. \textit{Les probabilités seront si besoin arrondies au centième.}
\begin{enumerate}
	\item Soit M l’événement \og l’élève a choisi la spécialité Maths \fg{}. Quelle est la probabilité de M ?
	\item Soit G l’événement \og l’élève choisi est un garçon \fg{}. Calculer $p(G)$.
	\item Décrire l’événement $M \cap G$ à l’aide d’une phrase puis déterminer $p (M \cap G)$.
	\item  Décrire l’événement $M \cup G$ à l’aide d’une phrase puis déterminer $p(M \cup G)$.
	\item Décrire l’événement $\overline{M}$. Déterminer $p \left(\overline{M}\right)$.
	\item On choisit au hasard une fille. Déterminer la probabilité qu'elle fasse Spé ISN.
\end{enumerate}

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\exonum{7}\strut\lignetitre %exo3

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On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3x^2-3x-6$.

\begin{enumerate}
	\item Vérifier que $f$ peut se mettre sous la forme $f(x)=(3x-6)(x+1)$.
	\item Vérifier que la forme canonique de $f$ est $f(x)=3 \left(x - 0,5\right)^2-6,75$.
	\item Utiliser la forme la mieux adaptée de $f$ pour :
	\begin{enumerate}
		\item dresser le tableau de variations de $f$ et déterminer son minimum ;
		\item résoudre l’inéquation $f(x) \pp 0$ ;
		\item résoudre l’équation $f(x)=-6,75$ ;
		\item déterminer les antécédents de $-6$ par $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

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\exonum{4}\strut\lignetitre %exo4

\bigskip

Une entreprise fabrique un parfum. On note $x$ la quantité (en hectolitres) produite par jour.

Le coût total engendré par la production de $x$ hectolitres de parfum est donné par l’expression $$C(x)=2x^2+3200.$$
On rappelle que le bénéfice est la différence entre la recette et le coût total de production.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer le coût total dans le cas où l’entreprise produit 40 hectolitres par jour.
	\item On suppose que la recette par jour est donnée par $R(x)=808x$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le bénéfice dans le cas où l’entreprise produit 40 hectolitres par jour.
		\item Démontrer que le bénéfice journalier est $B(x)=-2x^2+808x-3200$.
		\item Un logiciel de calcul formel propose la forme canonique suivante :
		\begin{center}\includegraphics[scale=0.75]{graphics/ds12_xcas_fc}\end{center}
		Déterminer le bénéfice journalier maximal, ainsi que la quantité à produire pour obtenir ce bénéfice maximal.
	\end{enumerate}
	\item \textbf{Bonus :} En utilisant la forme canonique donnée et l'IR$_3$, déterminer la forme factorisée de $B(x)$.
\end{enumerate}

\vfill{}

\begin{center}\includegraphics[scale=0.5]{graphics/ds08_humour}\end{center}

\end{document}