\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
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\newcommand{\nomfichier}{[2GT.CHAP05] Droites, fonctions affines, tds}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfstartview=FitH}  

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Chapitre 05}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Droites, fonctions affines, tds}

\section{Équations de droites}

\subsection{Caractérisation}

\prop{
Soit $\mathcallig{D}$ une droite du plan :
	
\tabu{}$\bullet~~$soit elle est verticale, au quel cas on a une équation de la forme $x=a$
	
\tabu{}$\bullet~~$sinon une équation de $\mathcallig{D}$ est de la forme $y=mx+p$ (affine, linéaire, horizontale)
}

\espacetitre

\subsection{Coefficient directeur et ordonnée à l'origine}

\defi[s]{
On considère une drte (non verticale) d'équation $y=mx+p$
	
\tabu{}$\bullet~~m$ est appelé coefficient directeur (ou pente) de la droite $\mathcallig{D}$
	
\tabu{}$\bullet~~p$ est appelé ordonnée à l'origine
}

\espacepara

\illustr{
Visualisation de $m$ et de $p$ sur une droite
	
Lien entre la pente et un vecteur directeur
}

\espacetitre

\subsection{Déterminer l'équation réduite d'une droite}

\methode{
On donne deux points distincts et on cherche l'équation de la droite passant par ces deux points :
	
$\bullet~~$on commence par regarder si la droite est verticale (même abscisse)
	
$\bullet~~$sinon on détermine $m$ via la formule $\dfrac{\text{décalage vertical}}{\text{décalage horizontal}}$ (lien avec vecteurs !) puis on détemrine $p$
}

\espacepara

\rmq{
Il faut bien évidemment s'assure que les points \og lus \fg{} tombent juste !	
	
Si la droite est tracée, on peut repérer des points particuliers de cette droite et lire $m$ puis essayer de lire $p$
}

\espacepara

\algo{
On peut facilement concevoir un algorithme permettant de détemriner l'équation d'une droite passant par deux points distincts (cas vertical ou affine...)
}

\espacetitre

\section{Applications}

\subsection{Droites parallèles, sécantes}

\rmq{
Deux droites verticales $x=a$ et $x=a'$ sont parallèles
}

\espacepara

\prop{
Soient deux droites $(d)$ et $(d')$ d'équations respectives $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$
	
$(d)$ et $(d')$ sont parallèles si et seulement si $m=m'$
}

\espacepara

\prop{
Les points $A$, $B$ et $C$ deux à deux distincts sont alignés si et seulement si les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont le même coefficient directeur
}

\espacetitre

\subsection{Systèmes 2x2}

\cadre{
Un système linéaire de deux équations à deux inconnues peut être interprété comme l'éventuelle intersection de deux droties dans le plan
}

\espacepara

\prop{
Dans le plan, deux droites d'équations respectives $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$ sont sécantes si et seulement si $m \neq m'$
	
Dans ce cas, le point d'intresection des deux droites est l'unique solution du système $\begin{dcases} y=mx+p \\ y=m'x+p' \end{dcases}$
}

\espacepara

\rmq[s]{
On peut se servir d'un graphique pour vérifier la solution
	
Une méthode (pas la plus rapide) consiste à travailler par substitution
}

\espacetitre

\section{Signe d'une fonction}

\subsection{Aspect graphique}

\methode{
Soit $f$ une fonction définie sur un itervalle $I$, on note $\courbe{f}$ sa courbe dans un repère orthogonal
	
La fonction $f$ est positive lorsque $\courbe{f}$ est située au-dessus de l'axe des abscisses
	
La fonction $f$ est négtive lorsque $\courbe{f}$ est située au-dessous de l'axe des abscisses
}

\espacepara

\rmq{
On retrouve algébriquement via la résolution des inéquations $f(x) \pg $ ou $f(x) \pp 0$
}

\espacetitre

\subsection{Tableau de signes}

\methode{
On peut synthétiser le signe d'une fonction grâce à un \textbf{tableau de signes} :
\begin{itemize}
	\item la première ligne comporte les valeurs importantes de $x$, autrement dit celles où $f$ change de signe
	\item la seconde ligne contient des +, des - et/ou des 0 pour symboliser le signe de la focntion
\end{itemize}
}

\espacetitre

\subsection{Le cas des fonctions affines}

\thm{
Soit $f(x)=mx+p$ une fonction affine, avec $m \neq 0$
\begin{itemize}
	\item si $m>0$ alors la droite $\courbe{f}$ est croissante, et donc $f$ est négative positive et change de signe en $-\tfrac{b}{a}$
	\item si $m<0$ alors la droite $\courbe{f}$ est décroissante, et donc $f$ est positive négative en changeant en $-\tfrac{b}{a}$
\end{itemize}
}

\espacetitre

\section{(In)Équations produit, quotient}

\subsection{Produit}

\prop{
Un produit de facteurs est nul ssi l'un des facteurs est nul
}

\espacepara

\methode{
Pour résoudre une inéquation produit :, on détermine le signe de chaque facteur
\begin{itemize}
	\item on détermine le signe de chaque facteur
	\item on construit le tds en utilisant une ligne par facteur
	\item on utilise la règle des signes (en colonne)
	\item on détermine la solution sous forme d'intervalle(s)
\end{itemize}
}

\espacetitre

\subsection{Quotient}

\methode{
Même technique en considérant une double-barre pour les éventuelles valeurs interdites
}

\end{document}