\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\usepackage[rev,pythonenv]{cp-sujet}
\newcommand{\nomfichier}{[2GT4.DS04] Affines, stats - Correction}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfstartview=FitH}  

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT4 - Janvier 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Correction du DS04}

\exonum{6 points}
\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On trace la droite demandée
		\begin{center}
			\psset{algebraic=true,tickwidth=1pt,unit=1cm}
			\defgrille{-4}{3}{0.5}{1}{-3}{6}{0.5}{1}
			\begin{pspicture*}(-4,-3)(3,6)
			\grillep{linewidth=0.75pt,linestyle=dashed,linecolor=orange}
			\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4,-3)(3,6)
			\psplot[linewidth=1.75pt,linecolor=red]{-5}{5}{-2*x-1}
			\psdots[dotscale=1.25,linecolor=purple](-3,5)(0.5,-2)
			\end{pspicture*}
		\end{center}
		\item On note $y=mx+p$ une équation de $(AB)$ (non verticale)
		\begin{itemize}
			\item il semblerait que $p=-1$ et que $m=\dfrac{DV}{DH}=\dfrac{-7}{3,5}=-2$ de sorte que $(AB)$ : $y=-2x-1$
			\item par calculs on a $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-2-5}{0,5-(-3)}=-2$ donc $y=-2x+p$
			\item et avec $A\coordpl{-3}{5}$, on obtient $5=-2 \times (-3)+p \Rightarrow 5-6=-1$
		\end{itemize}
		\item On teste si les coordonnées de C vérifient l'équation de $(AB)$ :
		
		$-2 \times x_C-1=-2 \times 0,74-1=-2,48 \neq y_C$ donc $C \notin (AB)$
		
		NB : on pouvait également calculer la pente de $(AC)$ et de constater que le résultat était différent de $-2$
		\item Le sens de variation d'une droite est dépendant de se pente
		
		Ici $m=-2 \ominus$ donc on pouvait directement dire que $(AB)$ était décroissante
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le graphique fourni permet de lire graphiquement certaines équations :
		\begin{itemize}
			\item $\mathcallig{D}_1$ : $x=3$ car elle est verticale
			\item $\mathcallig{D}_2$ : $y=\dfrac{1}{4}x-2$
			\item $\mathcallig{D}_3$ : $y=2$ car elle est horizontale
			\item $\mathcallig{D}_4$ : $y=3x+4$
		\end{itemize}
		Pour $\mathcallig{D}_5$, on lit $m=\dfrac{2}{3}$ mais $p$ ne tombe pas juste
		\begin{itemize}
			\item on a déjà $y=\dfrac23 x+p$ et on utilise le point $\coordpl{1}{0}$
			\item $0=\dfrac{2}{3} \times 1+p \Rightarrow p=-\dfrac23$
			\item ainsi $\mathcallig{D}_5$ : $y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{2}{3}$
		\end{itemize}
		\item Deux droites (non verticales) ont la même pente, donc on peut proposer comme droite strictement parallèle à $\mathcallig{D}_4$ la droite d'équation $y={\red 3}x+2$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\exonum{7 points}

\begin{enumerate}
	\item Pour les tds :
	\begin{enumerate}
		\item $(x+2)(x-5)$, on peut car c'est un produit de $mx+p$
		\begin{itemize}
			\item $x+2=0 \ssi x=-2$ et $m=1$ donc $\oplus$ \og après \fg{}
			\item $x-5=0 \ssi x=5$ et $m=1$ donc $\oplus$ \og après \fg{}
		\end{itemize}
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/1,$x+2$/1,$x-5$/1,expr/1}{$-\infty$,${-2}$,${5}$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,-,t,-,t,+,}
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\item $\dfrac{(1-x)(3x-6)}{2x-12}$, on peut car c'est un produit/quotient de $mx+p$
		\begin{itemize}
			\item $1-x=0 \ssi x=1$ et $m=-1$ donc $\ominus$ \og après \fg{}
			\item $3x-6=0 \ssi x=2$ et $m=3$ donc $\oplus$ \og après \fg{}
			\item $2x-1=0 \ssi x=6$ et $m=2$ donc $\oplus$ \og après \fg{}
		\end{itemize}
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[double distance=2pt]
			\tkzTabInit{$x$/1,$1-x$/1,$3x-6$/1,$2x-12$/1,expr/1}{$-\infty$,${1}$,${2}$,${6}$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,t,-,t,-,}
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,z,+,}
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,d,-,}
			\draw(N41) node[above]{{\footnotesize \red D}};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\item $\dfrac{-12}{x(x+2)^2}=\dfrac{-12}{x(x+2)(x+2)}$, on peut car c'est un quotient/produit de $mx+p$
		\begin{itemize}
			\item $-12$ est toujours $\ominus$
			\item $x=0$ et $m=1$ donc $\oplus$ \og après \fg{}
			\item $x+2=0 \ssi x=-2$ et $m=1$ donc $\oplus$ \og après \fg{}
		\end{itemize}
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[double distance=2pt]
			\tkzTabInit{$x$/1,$-12$/1,$x$/1,$x+2$/1,$x+2$/1,expr/1}{$-\infty$,${-2}$,${0}$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,}
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,+,d,+,d,-,}
			\draw(N21) node[above]{{\footnotesize \red D}};
			\draw(N31) node[above]{{\footnotesize \red D}};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\item $\dfrac{3}{3x+5}-2$, on ne peut pas (encore), il faut mettre au même dénominateur
		\begin{itemize}
			\item $\dfrac{3}{3x+5}-2=\dfrac{3}{3x+5}-\dfrac{2(3x+5)}{3x+5}=\dfrac{3-6x-10}{3x+5}=\dfrac{-6x-7}{3x+5}$ et là on peut
			\item $-6x-7=0 \ssi x=-\dfrac{7}{6}$ et $m=-6$ donc $\ominus$ \og après \fg{}
			\item $3x+5=0 \ssi x=-\dfrac{5}{3}$ et $m=3$ donc $\oplus$ \og après \fg{}
		\end{itemize}
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[double distance=2pt]
			\tkzTabInit{$x$/1,$-6x-7$/1,$3x+5$/1,expr/1}{$-\infty$,${-5/3}$,${-7/6}$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,-,d,+,z,-,}
			\draw(N21) node[above]{{\footnotesize \red D}};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On utilise IR3 pour factoriser :
		
		$f(x)=4x^2-(2x-3)^2 = (2x)^2-(2x-3)^2=[2x-(2x-3)][2x+(2x-3)]=(3)(4x-3)$
		\item On peut déterminer son tableau de signes car c'est un produit de $mx+p$
		\begin{itemize}
			\item $3$ est toujours $\oplus$
			\item $4x-3=0 \ssi x=\dfrac{3}{4}$ et $m=4$ donc $\oplus$ \og après \fg{}
		\end{itemize}
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/1,$3$/1,$4x-3$/1,expr/1}{$-\infty$,${3/4}$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,-,z,+,}
			\tkzTabLine{,-,z,+,}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\item Le tableau nous permet d'affirmer que $f(x)$ est positif sur l'intervalle $\intervFF{\dfrac34}{+\infty}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exonum{7 points}

\smallskip

 \begin{enumerate} 
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On complète le tableau :
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
			Salaires en euros & 1200 & 1400 & 1900 & 2400 & 2700 & 3500 & 4500\\ \hline
			Effectifs & 10 & 12 & 10 & 8 & 5 & 3 & 2 \\ \hline
			ECC & 10 & 22 & 32 & 40 & 45 & 48 & 50 \\ \hline
		\end{tabularx}
		\end{center}
		\item On a $N=50$
		\begin{itemize}
			\item $\dfrac{N}{2}=25$ donc $\text{méd}=\dfrac{25\ieme+26\ieme}{2}=\dfrac{1900+1900}{2}=1900$
			\item $0,25 \times 50=12,5$ donc $Q1=13\ieme=1400$
			\item $0,75 \times 50=37,5$ donc $Q1=13\ieme=2400$
		\end{itemize}
		\item Pour le salaire moyen, on doit calculer $\overline{x}=\dfrac{1200 \times 10 + \dots + 4500 \times 2}{50}=2000$ soit \np{2000}\,\euro
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On complète le tableau en regroupant en classes :
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
			Salaires en euros & [1200\,;\,2000[ & [2000\,;\,3000[ & [3000\,;\,4000[ & [4000\,;\,4500] \\ \hline
			Effectifs & 32 & 13 & 3 & 2 \\ \hline
			ECC & 32 & 45 & 48& 50\\ \hline
		\end{tabularx}
		\end{center}
		\item On trace la courbe des ECC en utilisant les \og points \fg{} lus sur le tableau :
		
		$\coordpl{1200}{0}$ ; $\coordpl{2000}{32}$ ; $\coordpl{3000}{45}$ ; $\coordpl{4000}{48}$ et $\coordpl{4500}{50}$
		\begin{center}
			\psset{xunit=0.00375cm,yunit=0.15cm,algebraic=true,tickwidth=1pt}
			\defgrille{0}{3400}{100}{100}{0}{55}{2.5}{2.5}
			\begin{pspicture}(0,-2.5)(3400,55)
				\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
				\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
				\grillep{linewidth=0.6pt,linecolor=orange}
				\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=1200,Dx=200,Dy=5]{->}(0,0)(3400,55)
				\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,0)(800,32)(1800,45)(2800,48)(3300,50)
				\psdots[linecolor=blue,dotscale=1.5](0,0)(800,32)(1800,45)(2800,48)(3300,50)
				\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=purple]{->}(0,12.5)(312.5,12.5)(312.5,0)
				\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=purple]{->}(0,25)(625,25)(625,0)
				\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=purple]{->}(0,37.5)(1223.08,37.5)(1223.08,0)
			\end{pspicture}
		\end{center}
		\item On trace trois traits, de hauteur 12,5 ; 25 et 37,5 pour estimer :
		\begin{itemize}
			\item $\text{méd} \approx 1850$
			\item $Q_1 \approx 1500$
			\item $Q_3 \approx 2400$
			\item $IQ=Q_3-Q_1=2400-1500 = 900$
		\end{itemize}
		Les différences s'expliquent par le fait que pour la courbe, on a regroupé par classes
	\end{enumerate}
	\item Pour le pourcentage de la masse salariale totale perçue par les 10\% des salariés les mieux rémunérés :
	\begin{itemize}
		\item la masse salariale totale est de $1200 \times 10 + \dots + 4500 \times 2 = 100000$ soit \np{100000}\euro
		\item les 10\,\% des salariés les mieux rémunérés sont les \og 5 derniers \fg{} dans le tableau
		\item ceux-ci ont une masse salariale de $3500 \times 3 + 4500 \times 2 = 19500$ soit \np{19500}\,\euro
	\end{itemize}  
	Le pourcentage de la masse salariale totale perçue par les 10\% les mieux rémunérés est de $\dfrac{19500}{100000}=19,5$\,\%
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Question Bonus \dotfill{}(1 points)}

\medskip

L'algorithme proposé :
\begin{itemize}
	\item nécessite 4 variables, et vu leurs noms on peut raisonnablement penser qu'il s'agit des coordonnées de 2 points
	\item calcule $\dfrac{y2-y1}{x2-x1}$ qui correspond à $\dfrac{DV}{DH}$, pente d'une droite (non verticale)
	\item calcule $y1-a*x1$ qui est la méthode utilisée pour déterminer $p$ avec les coordonnées d'un point
\end{itemize}
Cet algorithme renvoie la pente ($a$) et l'ordonnée à l'origine ($b$) d'une droite passant par $\coordpl{x1}{y1}$ et $\coordpl{x2}{y2}$
\begin{center}
	\begin{pythonv}
		>>> (executing file "2gt4_ds04.py")
		>>> algo(-3,5,0.5,-2)
		(-2.0, -1.0)\end{pythonv}
\end{center}

\end{document}