\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\usepackage{cp-sujet}
\newcommand{\nomfichier}{[2GT.DM08] Etude de benefices - Correction}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfstartview=FitH}
\fancypagestyle{entete}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre le ...}}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Février 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Correction du DM08}

\begin{enumerate}
	\item Le graphique nous donne -- via le point $(650~;~30875)$ -- le fait que 650 meubles rapportent 30875\,\euro
	
	Ainsi, par proportionnalité, chaque meuble est vendu $\dfrac{30785}{650}$ soit 47,5\,\euro
	\item Le recette correspondant à la vente de 150 meubles est de $R_{150}=150 \times 47,5=7125$ soit 7125\,\euro
	
	Pour déterminer le bénéfice, il reste à calculer le coût lié à la production de ces 150 meubles
	
	\tabu{}$C(150)=0,05 \times 150^2+20 \times 150 + 1250 = 5375$ soit 5375\,\euro
	
	Ainsi le bénéfice est de 7125-5375=1750\,\euro
	\item Pour déterminer la plage de bénéfice, on détermine les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe de la recette est au-dessus de la courbe du coût et comme plage de bénéfice $\intervFF{50}{500}$
	\item La recette étant proportionnelle au prix de vente, il vient directement le fait que $R(x)=47,5x$ pour $x$ meubles fabriqués et vendus
	\item Le bénéfice est de ce fait donné par $B(x)=R(x)-C(x)$
	
	Soit encore $B(x)=47,5x-\left(0,05x^2+20x+1250\right)=47,5x-0,05x^2-20x-1250=-0,05x^2+27,5x-1250$
	\item
	\begin{enumerate}
		\item On développe la formule donnée dans l'énoncé et on vérifie qu'il s'agit de $B(x)$ :
		
		$-0,05(x-275)^2+2531,25 = -0,05(x-550x+75625)+2531,25$
		
		$\phantom{-0,05(x-275)^2+2531,25} =-0,05x^2+27,5x-3781,25+2531,25$
		
		$\phantom{-0,05(x-275)^2+2531,25} =-0,05x^2+27,5x-1250=B(x)$ donc le résultat est démontré
		\item On utilise la fonction TABLE de la calculatrice pour déterminer le -- grand -- tableau de valeurs :
\begin{center}
\includegraphics[width=0.31\linewidth]{graphics/dm08_tabl_a}~\includegraphics[width=0.31\linewidth]{graphics/dm08_tabl_b}~\includegraphics[width=0.31\linewidth]{graphics/dm08_tabl_c}

\smallskip

\includegraphics[width=0.31\linewidth]{graphics/dm08_tabl_d}~\includegraphics[width=0.31\linewidth]{graphics/dm08_tabl_e}
\end{center}
On peut donc \og voir \fg{} que le bénéfice maximal est de \np{2135,25}\,\euro{} pour une quantité 275 meubles
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item De même que précédemment, on va développer le résultat donné et vérifier qu'on obtient $B(x)$ :
		
		$(x-50)(25-0,05x)=25x-0,05x^2-1250+2,5x=-0,05x^2+27,5x-1250=B(x)$
		\item Le fait que l'entreprise réalise des bénéfices peut être traduit par l'inéquation $B(x) \pg 0$
		\item D'après les questions précédentes, il faut résoudre $(x-50)(25-0,05x) \pg 0$ qui est une inéquation produit :
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture} 
			\tkzTabInit{$x$/1,$x-50$/1,${25-0,05x}$/1,$B(x)$/1}{$-\infty$,$50$, $500$,$+\infty$}
			\draw[fill=red!10,fill opacity=0.05](N23) rectangle (N34);
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}
			\node[draw,inner sep=2pt,circle,fill=yellow] at (S23) {+} ;
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		Soit une page de bénéfice $\intervFF{50}{500}$, qui correspond bien à celle trouvée graphiquement !
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}