\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
\usepackage{cp-sujet}
\newcommand{\nomfichier}{[2GT.TD09] Systeme}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfstartview=FitH}
\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre le ...}}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Février 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitremoins{TD09 - Les systèmes au secours de la géométrie}

\titrexo{Le but}\strut{}\lignetitre

\medskip

MNPQ étant un carré de côté 1, on trace, à l’intérieur de ce carré, les quarts de cercle de centre respectifs M, N, P et Q et de rayon 1. On obtient les points E, F, G et H. 

\smallskip

On veut calculer l’aire, notée $x$, de la surface grisée.

\begin{center} %figure 1 (juste x)
	\psset{unit=2cm,algebraic=true,,plotpoints=200}
	\begin{pspicture}(-0.35,-0.35)(4.15,4.15)
		\def\f{sqrt(16-x^2)}
		\def\g{4-sqrt(16-x^2)}
		\def\k{sqrt(16-(x-4)^2)}
		\def\l{4-sqrt(16-(x-4)^2)}
		\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0)(4,4)
		\psframe[linewidth=1.25pt](0,0)(4,4)
		\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=lightgray,linewidth=0.0pt]{
			\psplot{0.5359}{2}{\k} % courbe du haut
			\psplot{2}{0.5359}{\l} % courbe du bas
		}
		\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=lightgray,linewidth=0.0pt]{
			\psplot{2}{3.4641}{\f} % courbe du haut
			\psplot{3.4641}{2}{\g} % courbe du bas
		}
		\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\f}
		\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\g}
		\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\k}
		\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\l}
		\rput(2,2){{\large $x$}}
		\uput[ul](0,4){\point{M}}\uput[ur](4,4){\point{N}}\uput[dr](4,0){\point{P}}\uput[dl](0,0){\point{Q}}
		\uput[l](0.5359,2){\point{E}}\uput[u](2,3.4641){\point{F}}
		\uput[r](3.4641,2){\point{G}}\uput[d](2,0.5359){\point{H}}
	\end{pspicture}
\end{center}

\titrexo{Les figures}\strut{}\lignetitre

\medskip

Pour les questions suivantes, on utilisera les figures données ci-dessous :

\begin{center} 
	\psset{unit=1.2cm,algebraic=true,plotpoints=200}
	\begin{pspicture}(-0.35,-0.35)(4.15,4.15)%figure 2 (x, y et z)
	\def\f{sqrt(16-x^2)} 
	\def\g{4-sqrt(16-x^2)} 
	\def\k{sqrt(16-(x-4)^2)} 
	\def\l{4-sqrt(16-(x-4)^2)}
	\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0)(4,4)
	\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=lightgray,linewidth=0.0pt]{
		\psplot{0.5359}{2}{\k} % courbe du haut
		\psplot{2}{0.5359}{\l} % courbe du bas
	}
	\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=lightgray,linewidth=0.0pt]{
		\psplot{2}{3.4641}{\f} % courbe du haut
		\psplot{3.4641}{2}{\g} % courbe du bas
	}
	\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=Aquamarine,linecolor=Emerald,linewidth=0.0pt]{
		\psline(0,0)(0,4)
		\psplot{0}{0.5359}{\l}
		\psplot{0.5359}{0}{\k}
	}
	\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=Aquamarine,linecolor=Emerald,linewidth=0.0pt]{
		\psline(0,4)(2,4)
		\psplot{2}{0}{\f}
	}
	\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=Aquamarine,linecolor=Emerald,linewidth=0.0pt]{
		\psline(2,4)(4,4)
		\psplot{4}{2}{\k}
	}
	\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=Aquamarine,linecolor=Emerald,linewidth=0.0pt]{
		\psplot{3.4641}{4}{\g}
		\psline(4,4)(4,0)
		\psplot{4}{3.4641}{\f}
	}
	\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=Aquamarine,linecolor=Emerald,linewidth=0.0pt]{
		\psplot{0}{2}{\g}
		\psline(2,0.5359)(2,0)
	}
	\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=Aquamarine,linecolor=Emerald,linewidth=0.0pt]{
		\psline(2,0)(2,0.5359)
		\psplot{2}{4}{\l}
	}
	\psframe[linewidth=1.25pt](0,0)(4,4)
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\f}
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\g}
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\k}
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\l}
	\rput(2,2){{\large $x$}}\rput(3.4641,3.4641){{\large $y$}}
	\rput(2,3.7321){{\large $z$}}
	\rput(2,-0.3){\point{figure 1}}
	\end{pspicture}
	~~
	\psset{unit=1.2cm,algebraic=true,plotpoints=200}%figure 3 (quart cercle)
	\begin{pspicture}(-0.35,-0.35)(4.15,4.15)
	\def\f{sqrt(16-x^2)}
	\def\g{4-sqrt(16-x^2)}
	\def\k{sqrt(16-(x-4)^2)}
	\def\l{4-sqrt(16-(x-4)^2)}
	\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=lightgray,linewidth=0.0pt]{
		\psline(0,0)(0,4)
		\psplot{0}{4}{\f} % courbe du haut
	}
	\psframe[linewidth=1.25pt](0,0)(4,4)
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\f}
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\g}
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\k}
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\l}
	\rput(2,2){{\large $x$}}\rput(3.4641,3.4641){{\large $y$}}
	\rput(2,3.7321){{\large $z$}}
	\rput(2,-0.3){\point{figure 2}}
	\end{pspicture}
	~~
	\psset{unit=1.2cm,algebraic=true,plotpoints=200}%figure 4 (triangle)
	\begin{pspicture}(-0.35,-0.35)(4.15,4.15)
	\def\f{sqrt(16-x^2)}
	\def\g{4-sqrt(16-x^2)}
	\def\k{sqrt(16-(x-4)^2)}
	\def\l{4-sqrt(16-(x-4)^2)}
	\psframe[linewidth=1.25pt](0,0)(4,4)
	\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(2,3.4641)(4,0)
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\f}
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\g}
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\k}
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\l}
	\rput(2,2){{\large $x$}}\rput(3.4641,3.4641){{\large $y$}}
	\rput(2,3.7321){{\large $z$}}
	\rput(2,-0.3){\point{figure 3}}
	\end{pspicture}
	
	\bigskip
	
	\psset{unit=1.2cm,algebraic=true,plotpoints=200}%figure 5 (triangle + arc)
	\begin{pspicture}(-0.35,-0.35)(4.15,4.15)
	\def\f{sqrt(16-x^2)}
	\def\g{4-sqrt(16-x^2)}
	\def\k{sqrt(16-(x-4)^2)}
	\def\l{4-sqrt(16-(x-4)^2)}
	\psframe[linewidth=1.25pt](0,0)(4,4)
	\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=lightgray,linewidth=0.0pt]{
		\psplot{0}{2}{\k} % courbe du haut
		\psline(2,3.4641)(0,0)
	}
	\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(2,3.4641)(4,0)
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\f}
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\g}
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\k}
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\l}
	\rput(2,2){{\large $x$}}\rput(3.4641,3.4641){{\large $y$}}
	\rput(2,3.7321){{\large $z$}}
	\rput(2,-0.3){\point{figure 4}}
	\end{pspicture}
	~~
	\psset{unit=1.2cm,algebraic=true,,plotpoints=200}%figure 6 (arc)
	\begin{pspicture}(-0.35,-0.35)(4.15,4.15)
	\def\f{sqrt(16-x^2)}
	\def\g{4-sqrt(16-x^2)}
	\def\k{sqrt(16-(x-4)^2)}
	\def\l{4-sqrt(16-(x-4)^2)}
	\psframe[linewidth=1.25pt](0,0)(4,4)
	\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=lightgray,linewidth=0.0pt]{
		\psplot{0}{2}{\k} % courbe du haut
		\psline(2,3.4641)(0,0)
	}
	\pspolygon(0,0)(2,3.4641)(4,0)
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\f}
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\g}
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\k}
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\l}
	\rput(2,2){{\large $x$}}\rput(3.4641,3.4641){{\large $y$}}
	\rput(2,3.7321){{\large $z$}}
	\rput(2,-0.3){\point{figure 5}}
	\end{pspicture}
	~~
	\psset{unit=1.2cm,algebraic=true,,plotpoints=200}%figure 7 (triangle + arcs)
	\begin{pspicture}(-0.35,-0.35)(4.15,4.15)
	\def\f{sqrt(16-x^2)}
	\def\g{4-sqrt(16-x^2)}
	\def\k{sqrt(16-(x-4)^2)}
	\def\l{4-sqrt(16-(x-4)^2)}
	\psframe[linewidth=1.25pt](0,0)(4,4)
	\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=lightgray,linewidth=0.0pt]{
		\psplot{0}{2}{\k} % courbe du haut
		\psline(2,3.4641)(0,0)
	}
	\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=lightgray,linewidth=0.0pt]{
		\psplot{2}{4}{\f} % courbe du haut
		\psline(4,0)(2,3.4641)
	}
	\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(2,3.4641)(4,0)
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\f}
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\g}
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\k}
	\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{4}{\l}
	\rput(2,2){{\large $x$}}\rput(3.4641,3.4641){{\large $y$}}
	\rput(2,3.7321){{\large $z$}}
	\rput(2,-0.3){\point{figure 6}}
	\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\titrexo{Les étapes}\strut{}\lignetitre

\begin{enumerate}
	\item \textbf{Première étape}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l’aire totale du carré, puis l'exprimer en fonction de $x$, $y$ et $z$ (\textsf{figure 1}). 
		\item On obtient ainsi une première équation. Laquelle ? 
	\end{enumerate}
	\item \textbf{Deuxième étape}
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la partie colorée (\textsf{figure 2})? 
		\item Calculer l’aire de cette partie, puis l'exprimer en fonction de $x$, $y$ et $z$. 
		\item On obtient ainsi une deuxième équation. Laquelle ? 
	\end{enumerate}
	\item \textbf{Troisième étape}
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la partie colorée (\textsf{figure 3}) ? Quelle est son aire ?
		\item Quelle est la nature de la partie colorée (\textsf{figure 4}) ? Quelle est son aire ?
		\item En déduire l’aire de la partie colorée de la \textsf{figure 5}, puis de la partie colorée de la \textsf{figure 6}.  
		\item Exprimer l'aire de la partie colorée de la \textsf{figure 6} en fonction de $x$, $y$ et $z$ ; puis en déduire une troisième équation.
	\end{enumerate}
	\item \textbf{Quatrième étape}
	\begin{enumerate}
		\item On a ainsi obtenu le système linéaire de trois équations à trois inconnues suivant, à compléter : \[ \begin{dcases} \dots{}x+\dots{}y+\dots{}z=\dots{}\dots{} \\ \dots{}x+\dots{}y+\dots{}z=\dots{}\dots{} \\ \dots{}x+\dots{}y+\dots{}z=\dots{}\dots{}\end{dcases} \]
		\item Utiliser la calculatrice et de mode \texttt{EQUATION} pour résoudre ce système :
		\begin{center}\includegraphics[width=5.5cm]{graphics/td09_casio_a.eps}~~\includegraphics[width=5.5cm]{graphics/td09_casio_b.eps}
		
		\smallskip
	
		\includegraphics[width=5.5cm]{graphics/td09_casio_c.eps}~~\includegraphics[width=5.5cm]{graphics/td09_casio_d.eps}\end{center}
		\begin{itemize}
			\item \menuaff{MENU} \menuaff{EQUA(9)} ; puis \ToucheCasioF{1} pour le module \menuaff{Système} ; ensuite \ToucheCasioF{2} pour 3 inconnues
			\item puis on complète les \og cases \fg{} avec les coefficients du système obtenu en \ptno{4}\pta{a} ;
			\item \ToucheCasioF{1} pour résoudre ce système.
		\end{itemize}
		\item Conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vfill{}

\titrexo{Un peu d'aide ?}\strut{}\lignetitre

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{X @{\,\textcolor{titrebleu}{\vrule width 1.2pt}\:} X}
	Aire d'un triangle équilatéral : $\mathcallig{A}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times c^2$ & Aire d'un secteur angulaire : $\mathcallig{A} = \dfrac{\alpha}{360} \times \pi r^2$ \\
\end{tabularx}



\end{document}