\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\usepackage{cp-sujet}
\newcommand{\nomfichier}{[2GT4.DS01] Generalites fonctions - Correction}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
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%	/Title (\nomfichier)}
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\renewcommand{\i}{\text{i}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT4 - Octobre 2017}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Correction du DS01}

\titrexo{Exercice 1}

\begin{enumerate}
	\item Les intervalles demandés sont :
	\begin{enumerate}
		\item On ne prend que les réels situés entre -1 et 2 et les crochets sont comme ceux de l'intervalle :
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[>=latex]
			\draw[->] (0,0) --(10,0);
			\node[] at (7,0) {\red $\Big[$};
			\node[] at (4,0) {\red $\Big]$};
			\node[below=8pt] at (7,0) {\red $2$};
			\node[below=8pt] at (0,0) {$-\infty$};
			\node[below=8pt] at (10,0) {$+\infty$};
			\node[below=8pt] at (4,0) {\red $-1$};
			%			\foreach \xp in {0,0.2,...,3.8}{\node[] at (\xp,0) {/};}
			\foreach \xp in {4.2,4.4,...,6.8}{\node[] at (\xp,0) {\red /};}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\item On prend les réels inférieurs à 4 ou ceux entre 7 et 10 (de la même couleur !):
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[>=latex]
			\draw[->] (0,0) --(10,0);
			\node[] at (3,0) {\blue $\Big]$};
			\node[] at (6,0) {\blue $\Big[$};
			\node[] at (8,0) {\blue $\Big[$};
			\node[below=8pt] at (3,0) {\blue $4$};
			\node[below=8pt] at (6,0) {\blue $7$};
			\node[below=8pt] at (8,0) {\blue $10$};
			\node[below=8pt] at (0,0) {$-\infty$};
			\node[below=8pt] at (10,0) {$+\infty$};
			\foreach \xp in {0,0.2,...,2.8}{\node[] at (\xp,0) {\blue /};}
			\foreach \xp in {6.2,6.4,...,7.8}{\node[] at (\xp,0) {\blue /};}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\item Cette fois-ci on prend les réels strictement plus grands que 1,5 :
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[>=latex]
			\draw[->] (0,0) --(10,0);
			\node[] at (3,0) {\color{purple} $\Big]$};
			\node[below=8pt] at (3,0) {\color{purple} ${1,5}$};
			\node[below=8pt] at (0,0) {$-\infty$};
			\node[below=8pt] at (10,0) {$+\infty$};
			\foreach \xp in {3.2,3.4,...,9.8}{\node[] at (\xp,0) {\color{purple} /};}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}
	\item L'intervalle donné sur la droite des réels est l'intervalle $\intervOO{-\infty}{2} \cup \intervOO{5}{+\infty}$
	\item On peut représenter sur une même droite les intervalles U et V, et l'intersection correspond à leur partie commune :
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[>=latex]
		\draw[->] (0,0) --(10,0);
		\node[] at (3,0) {\color{orange} $\Big]$};
		\node[] at (6,0) {\blue $\Big[$};
		\node[] at (8,0) {\color{orange} $\Big]$};
		\node[below=8pt] at (3,0) {\color{orange} $-4$};
		\node[below=8pt] at (6,0) {\blue $0$};
		\node[below=8pt] at (8,0) {\color{orange} $10$};
		\node[below=8pt] at (0,0) {$-\infty$};
		\node[below=8pt] at (10,0) {$+\infty$};
		\foreach \xp in {6.2,6.4,...,9.8}{\node[] at (\xp,0) {\blue /};}
		\foreach \xp in {3.2,3.4,...,7.8}{\node[] at (\xp,0) {\color{orange} $\backslash$};}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	Ainsi on obtient $U \cap V = \intervFF{0}{10}$
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Exercice 2}

\begin{enumerate}
	\item On utilise les lectures graphiques d'images et d'antécédents :
	\begin{center}
		{\footnotesize \psset{algebraic=true,unit=0.05cm}
			\begin{pspicture}(-8,-5)(150,95)
			\multido{\n=0+10}{16}{\psline[linecolor=lightgray!75,linewidth=0.75pt](\n,0)(\n,95)}
			\multido{\n=0+10}{10}{\psline[linecolor=lightgray!75,linewidth=0.75pt](0,\n)(150,\n)}
			\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(150,95)
			\uput[r](0,92){\scriptsize Niveau de bruit (en décibels)}
			\uput[u](135,0){\scriptsize  Distance (en mètres)}
			%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{1}{150}{2.71828 x 0.05 mul neg exp 50 mul 45 add}
			\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{1}{150}{50*EXP(-0.05*x)+45}
			\psdot[dotscale=1.5,linecolor=blue](100,45.33)
			\psline[arrowsize=8pt,ArrowInside=->,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=blue](100,0)(100,45.33)(0,45.33)
			\psdot[dotscale=1.5,linecolor=purple](24.08,60)
			\psline[arrowsize=8pt,ArrowInside=->,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=purple](0,60)(24.08,60)(24.08,0)
			\end{pspicture}}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item À une distance de 100 mètres de la tondeuse, le niveau de bruit est d’environ 45 décibels
		\item Le niveau de bruit est de 60 décibels à une distance de (environ) 23 mètres de la tondeuse
	\end{enumerate}
	\item D'après les deux graphiques donnés :
	
	\tabu{}$\bullet~~$à 5 mètres de la machine A, le bruit est de 88 décibels environ
	
	\tabu{}$\bullet~~$pour la machine B, cette distance est atteinte à environ 7 mètres de distance
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{Y Y}
			\psset{xunit=0.12cm,yunit=0.06cm}
			\begin{pspicture}(-5,-5)(35,105)
			\multido{\n=0+2.5}{15}{\psline[linecolor=lightgray!75,linewidth=0.75pt](\n,0)(\n,105)}
			\multido{\n=0+5}{22}{\psline[linecolor=lightgray!75,linewidth=0.75pt](0,\n)(35,\n)}
			\uput[r](0,102){\scriptsize Niveau de bruit (en décibels)}
			\uput[u](25,0){\scriptsize  Distance (en mètres)}
			\rput(17.5,35){Machine A}
			\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(35,105)
			\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{1}{35}{2.71828 x 0.14 mul neg exp 40 mul 68 add}	
			\psdot[dotscale=1.5,linecolor=blue](5,87.86)
			\psline[arrowsize=6pt,ArrowInside=->,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=blue](5,0)(5,87.86)(0,87.86)
			\end{pspicture}&\psset{xunit=0.12cm,yunit=0.06cm}
			\begin{pspicture}(-5,-5)(35,105)
			\multido{\n=0+2.5}{15}{\psline[linecolor=lightgray!75,linewidth=0.75pt](\n,0)(\n,105)}
			\multido{\n=0+5}{22}{\psline[linecolor=lightgray!75,linewidth=0.75pt](0,\n)(35,\n)}
			\uput[r](0,102){\scriptsize Niveau de bruit (en décibels)}
			\uput[u](25,0){\scriptsize  Distance (en mètres)}
			\rput(17.5,35){Machine B}
			\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(35,105)
			\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{1}{35}{2.71828 x 0.14 mul neg exp 28 mul 77 add}	
			\psdot[dotscale=1.5,linecolor=blue](6.77,87.86)
			\psline[arrowsize=6pt,ArrowInside=->,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=blue](0,87.86)(6.77,87.86)(6.77,0)
			\end{pspicture}
		\end{tabularx}
	\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Exercice 3}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'ensemble de définition de la fonction $f$ est l'ensemble des valeurs possibles pour $x$, ici $\mathcallig{D}_f=\intervFF{-1}{2,5}$
		\item On lit l'image de $-1$ sur la courbe, et on obtient $f(-1)=3$
		\item De même on lit $f(1)=-1$ ; et pour les antécédents, on lit graphiquement que ceux de 0 sont 0 et 2
		
		\begin{center}
			\psset{unit=1cm,algebraic=true}
			\begin{pspicture}(-1.6,-1.6)(3.1,4.1)
			\multido{\n=-1.5+0.5}{10}{\psline[linecolor=lightgray!75,linewidth=0.75pt](\n,-1.5)(\n,4)}
			\multido{\n=-1.5+0.5}{12}{\psline[linecolor=lightgray!75,linewidth=0.75pt](-1.5,\n)(3,\n)}
			\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labels=none,ticksize=-3pt 3pt]{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(3,4)
			\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{2.5}{x*x-2*x}
			\uput[dl](0,0){0} \uput{6pt}[d](1,0){$1$} \uput[l](0,1){$1$}
			\uput[dr](0,4){$y$} \uput{8pt}[d](2.8,0){$x$}
			\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{0.29}{1.71}{x*x-2*x}
			\psdots[dotscale=1.25,linecolor=blue](-1,3)(2.5,1.25)
			\psdots[dotscale=1.25,linecolor=red](-1,3)(1,-1)(0,0)(2,0)
			\psdots[dotscale=1.25,linecolor=purple](-0.73,2)
			\psdots[dotscale=1.25,linecolor=orange](0.29,-0.5)(1.71,-0.5)
			\psline[arrowsize=6pt,ArrowInside=->,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=red](-1,0)(-1,3)(0,3)
			\psline[arrowsize=6pt,ArrowInside=->,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=red](1,0)(1,-1)(0,-1)
			\psline[arrowsize=6pt,ArrowInside=->,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=purple](0,2)(-0.73,2)(-0.73,0)
			\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=orange](0.29,0)(0.29,-0.5)
			\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=orange](1.71,0)(1.71,-0.5)
			\psline[linewidth=1.33pt,linestyle=dashed,linecolor=orange]{[-]}(0.29,0)(1.71,0)
			\end{pspicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}
	\item On dresse le tableau de variations de $f$ en \og suivant les flèches \fg{} :
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/0.8,$f$/1.5}{$-1$,$1$,${2,5}$}
			\tkzTabVar{+/$3$,-/$-1$,+/${1,25}$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item $f(x)=2$, la solution est $\mathcallig{S}=\left\lbrace {-0,73} \right\rbrace$
		\item $f(x) \pp -0.5$ : la solution est $\mathcallig{S}= \intervFF{0,29}{1,71}$
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Exercice 4}

\begin{enumerate}
	\item On lit le domaine de définitions des fonctions sur l'axe des abscisses, on obtient $\mathcal{D}=\intervFF{1}{5}$ (ou $\intervFO{1}{+\infty}$)
	\item Graphiquement, $g(2) \approx 180$, donc pour un prix de 2\,\euro{}, les acheteurs sont prêts à en acheter 180
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On cherche ici $f(5)=200$ donc l'entreprise peut proposer 200 objets pour un prix de 5\,\euro 
		\item Cependant $g(5) \approx 10 < 200$, ainsi demande$<$offre et donc l'entreprise ne va pas vendre tous les objets
	\end{enumerate}
	\item On lit le prix d'équilibre lorsque $f(x)=g(x)$, graphiquement on trouve un prix d'équilibre d'environ 3,2\,\euro
\end{enumerate}

\end{document}