\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\usepackage{cp-sujet}
\newcommand{\nomfichier}{[2GT4.DS06] Probas, vecteurs, signes - Correction}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfstartview=FitH}
\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre le ...}}}
\fancypagestyle{enteteds}{\fancyhead[L]{\entete{Durée : 2 heures}}}
\usepackage{epsdice}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT4 - Avril 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Correction du DS06}

\medskip

\exonum{6}\strut\lignetitre

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Le diagramme \og en patates \fg{} est le suivant :
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\draw[very thick] (-4,-1) rectangle (4,4); % OMEGA
		\draw[red,very thick] (0,0) ++(135:2) circle (2.3); % T
		\draw (-3,1.5) node {\Large \red \textsf{194}};
		\draw (0.45,1.5) node {\Large \textsf{\red9\blue6}};
		\draw (2.5,1.5) node {\Large \blue \textsf{118}};
		\draw (-3.15,3.35) node {\red \Large \textsf{T}};
		\draw (2.85,0.38) node {\blue \Large \textsf{V}};
		\draw (3.5,3.5) node{\Large \textsf{72}};
		\draw[blue,very thick] (0,0) ++(45:2) circle (1.5); % G
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	On a directement :
	\begin{enumerate}
		\item $p(T)=\dfrac{290}{480}$
		\item $p(V)=\dfrac{214}{480}$
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item $T \cap V$ est l'évènement \og la personne est inscrite au tennis et au volley \fg{} et $p(T \cap V)=\dfrac{96}{480}$
		\item $T \cup V$ est l'évènement \og la personne est inscrite au tennis ou au volley \fg{}
		
		Et $p(T \cup V)=\dfrac{290}{480}+\dfrac{214}{480}-\dfrac{96}{240}=\dfrac{408}{480}$
		\item $\overline{T}$ est l'évènement \og la personne n'est pas inscrite au tennis \fg{} et $p(\overline{T})=1-\dfrac{290}{480}=\dfrac{190}{280}$
		\item $T \cap \overline{V}$ est l'évènement \og la personne est inscrite au tennis et pas au volley \fg{}
		
		Et $p(T \cap \overline{V})=\dfrac{290}{480}-\dfrac{96}{480}=\dfrac{194}{480}$
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item $p(A)=p(\text{\og la personne en fait un seul \fg{}})=\dfrac{194+118}{480}=\dfrac{304}{480}$
		\item $p(B)=1-p(\text{\og la personne en fait deux \fg{}})=1-p(T \cap V)=\dfrac{384}{480}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exonum{4,5}\strut\lignetitre

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Voilà le tableau complété :
	\begin{center}
		\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
		\begin{tabular}{|M{2cm}|M{2cm}|M{2cm}|M{2cm}|}
			\cline{2-4}
			\multicolumn{1}{c|}{}&F&G&Total \\ \hline
			A&210&240&450 \\ \hline
			D&195&105&300 \\ \hline
			Total&405&345&750 \\ \hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	\item On a directement $p(F)=\dfrac{405}{750}$, $p(G)=\dfrac{345}{750}$, $p(A)=\dfrac{450}{750}$ et $p(D)=\dfrac{300}{750}$.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item $F \cap D$ : \og L'élève est une fille qui fait allemand \fg{} et $p(F \cap D)=\dfrac{195}{750}$
		\item $G \cap D$ : \og L'élève est un garçon qui fait allemand \fg{} et $p(G \cap D)=\dfrac{105}{750}$
		\item $F \cup A$ : \og L'élève est une fille ou il fait allemand \fg{} et $p(F \cup D)=\dfrac{405+450-210}{750}=\dfrac{645}{750}$
	\end{enumerate}
	\item On ne s'intéresse ici plus qu'aux 405 filles, et parmi elles, 195 font Allemand LV1
	
	La probabilité recherchée est donc $p=\dfrac{195}{405}$
\end{enumerate}

\bigskip

\exonum{5,5}\strut\lignetitre

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le tableau est obtenu en lisant l'écart entre les faces des deux dés :
		\begin{center}
			\renewcommand{\arraystretch}{1.05}
			{\huge \begin{tabularx}{8cm}{|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
					\hline 
					& \epsdice{1} & \epsdice{2} & \epsdice{3} & \epsdice{4} & \epsdice{5} & \epsdice{6} \\ \hline
					\epsdice[black]{1} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
					\epsdice[black]{2} & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
					\epsdice[black]{3} & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
					\epsdice[black]{4} & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline
					\epsdice[black]{5} & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
					\epsdice[black]{6} & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ \hline
			\end{tabularx}}
		\end{center}
		\item De ce fait l'ensemble des issues possibles, ou univers, est $\Omega=\left\lbrace0~;~1~;~\ldots~;~5\right\rbrace=\llbracket 0~;~5 \rrbracket$
		
		Et la loi de probabilités est :
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|L{2cm}|*{6}{M{1.5cm}|}}
				\hline
				Issues & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
				Probas & $\nicefrac{6}{36}$ & $\nicefrac{10}{36}$ & $\nicefrac{8}{36}$ & $\nicefrac{6}{36}$ & $\nicefrac{4}{36}$ & $\nicefrac{2}{36}$ \\ \hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		\item Toutes les issues n'ayant pas la même probabilité, ce n'est pas une situation d'équiprobabilité
	\end{enumerate}
	
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item L’évènement $I \cap P$ correspond à \og Le résultat est impair \uline{et} il est strictement supérieur à 2 \fg{}
		
		Soit encore $I \cap P = \left\lbrace 3~;~5 \right\rbrace$
		
		On \og compte \fg{}, dans le tableau, 8 possibilités, ainsi $p(I \cap D)=\dfrac{8}{36}=\dfrac29$
		\item L’évènement $I \cup D$ correspond à \og Le résultat est impair \uline{ou} il est strictement supérieur à 2 \fg{}
		
		Soit encore $I \cup D = \left\lbrace 1~;~3~;~4~;~5 \right\rbrace$
		
		On \og compte \fg{}, dans le tableau, 22 possibilités, ainsi $p(P \cup S)=\dfrac{22}{36}=\dfrac{11}{18}$
		
		\hfill{}{\small NB : on aurait pu utiliser la formule $p(I \cup D)=p(I)+p(D)-p(I \cap D)=\dfrac{18}{36}+\dfrac{12}{36}-\dfrac{8}{36}=\dfrac{22}{36}$}
		\item L’évènement $C = \overline{I \cup D}$ est l'évènement \uline{contraire} de $I \cup D$, que l'on peut traduire par \og Le résultat n'est ni impair ni strictement plus grand que 2 \fg{} soit encore \og Pair \uline{et} inférieur à 2 \fg{}
		
		On peut également écrire $C = \overline{I \cup D} = \left\lbrace 0~;~2 \right\rbrace$
		
		On utilise la formule $p(C)=p \left( \overline{I \cup D} \right) = 1 - p(I \cup D) = 1- \dfrac{11}{18}=\dfrac{7}{18}$
		\item L’évènement $E=\overline{I} \cap \overline{D}$ correspond à \og Le résultat n'est pas impair \uline{et} il n'est pas strictement supérieur à 2 \fg{}
		
		Soit encore $E=\left\lbrace 0~;~2 \right\rbrace = C$
		
		Ainsi $p(E)=p(C)=\dfrac{7}{18}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\exonum{4,5}\strut\lignetitre

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Tableau de signes de $(4x-3)(-2x + 5)$ :
	\begin{itemize}
		\item on peut car c'est un produit de facteurs $ax+b$
		\item $4x-3=0 \ssi 4x=3 \ssi x=\tfrac{3}{4}=0,75$ et $a=4\oplus$ donc le signe est $\ominus\oplus$
		\item $-2x+5=0 \ssi -2x=-5 \ssi x=\tfrac{5}{2}=2,5$ et $a=-2\ominus$ donc le signe est $\oplus\ominus$
	\end{itemize}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[double distance=2mm]
			\tkzTabInit{$x$/1,$4x-3$/1,$-2x+5$/1,expr/1}{$-\infty$,${0,75}$,${2,5}$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\item Tableau de signes de $\dfrac{5x(10x - 100)}{-x + 100}$ :
	\begin{itemize}
		\item on peut car c'est un produit/quotient de facteurs $ax+b$
		\item $5x=0 \ssi x=0$ et $a=5\oplus$ donc le signe est $\ominus\oplus$
		\item $10x-100=0 \ssi x=10$ et $a=10\oplus$ donc le signe est $\ominus\oplus$
		\item $-x+100=0 \ssi x=100$ et $a=-1\ominus$ donc le signe est $\oplus\ominus$
	\end{itemize}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[double distance=1.25mm]
			\tkzTabInit{$x$/1,$5x$/1,$10x-100$/1,$-x+100$/1,expr/1}{$-\infty$,${0}$,${10}$,$100$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,+,t,+,t,+,z,-,}
			\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,d,-,}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\item Tableau de signes de $3+\dfrac{6}{x-1}$ :
	\begin{itemize}
		\item on ne peut encore car c'est une somme\dots
		\item mais $3+\dfrac{6}{x-1}=\dfrac{3(x-1)}{x-1}+\dfrac{6}{x-1}=\dfrac{3x-3+6}{x-1}=\dfrac{3x+3}{x-1}$ et là on peut !
		\item $3x+3=0 \ssi x=-1$ et $a=3\oplus$ donc le signe est $\ominus\oplus$
		\item $x-1=0 \ssi x=1$ et $a=1\oplus$ donc le signe est $\ominus\oplus$
	\end{itemize}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[double distance=1.25mm]
			\tkzTabInit{$x$/1,$3x+3$/1,$x-1$/1,expr/1}{$-\infty$,${-1}$,${1}$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
			\tkzTabLine{,+,z,-,d,+,}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\newpage
	\item Tableau de signes de $(2x+3)(4x-5)+(10-x)(2x+3)$ :
	\begin{itemize}
		\item on ne peut encore car c'est une somme\dots
		\item mais $(2x+3)(4x-5)+(10-x)(2x+3)=(2x+3)[(4x-5)+(10-x)]=(2x+3)(3x+5)$ et là on peut !
		\item $2x+3=0 \ssi x=-1,5$ et $2=3\oplus$ donc le signe est $\ominus\oplus$
		\item $3x+5=0 \ssi x=-\tfrac{3}{5}$ et $a=3\oplus$ donc le signe est $\ominus\oplus$
	\end{itemize}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit{$x$/1,$3x+3$/1,$x-1$/1,expr/1}{$-\infty$,${-\tfrac{5}{3}}$,${-1,5}$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
		\tkzTabLine{,-,z,+,z,+,}
		\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\exonum{8,5}\strut\lignetitre

\smallskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
	\item les coordonnées des vecteurs $\vekt{AB}$ et $\vekt{AC}$ sont :
	\begin{itemize}
		\item $\vekt{AB} \coordeux{x_B-x_A}{y_B-y_A}$ soit $\vekt{AB} \coordeux{-3+5}{5-1}$ soit $\vekt{AB} \coordeux{2}{4}$ 
		\item $\vekt{AC} \coordeux{x_C-x_A}{y_C-y_A}$ soit $\vekt{AC} \coordeux{1+5}{-2-1}$ soit $\vekt{AC} \coordeux{6}{-3}$
	\end{itemize}
	\item Pour placer le point $D$ tel que $\vekt{AD}=\vekt{AB}+\vekt{AC}$, on part du point $A$ et on met, \og bout à bout \fg{}, les deux vecteurs $\vekt{AB}$ et $\vekt{AC}$
	\item On note $D \coordpl{x_D}{y_D}$, de sorte que :
	
	$\vekt{AD}=\vekt{AB}+\vekt{AC} \Rightarrow \coordeux{x_D+5}{y_D-1}=\coordeux{2}{4}+\coordeux{6}{-3}=\coordeux{8}{1} \Rightarrow \begin{dcases} x_D+5=8 \\ y_D - 1 = 1 \end{dcases} \rightarrow \begin{dcases} x_D=8-5=3 \\ y_D = 1 + 1 = 2 \end{dcases}$
	
	On a donc -- bien -- $D(3~;~2)$
	\item On a directement $\vekt{AB} \coordeux{2}{4}$ et $\vekt{CD} \coordeux{3-1=2}{2+2=4}$ soit $\vekt{AB}=\vekt{CD}$
	
	On en déduit donc que le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme
	\item On va calculer les longueurs des diagonales $[AD]$ et $[BC]$ :
	\begin{itemize}
		\item $\vekt{AD}\coordeux{8}{1} \Rightarrow AD = \sqrt{8^2+1^2}=\sqrt{65}$
		\item $\vekt{BC}\coordeux{4}{-7} \Rightarrow BC = \sqrt{4^2+(-7)^2}=\sqrt{65}$
	\end{itemize}
	On peut donc en déduire que $ABDC$ est un parallélogramme ayant ses diagonales de même longueur, c'est donc un rectangle
	\item Pour placer les points demandés, on détermine le point de départ puis on met \og bout à bout \fg{} le ou les vecteurs
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, on a $\vekt{CM} \coordeux{4}{8} = 2 \times \vekt{AB}$
		
		Ainsi les deux vecteurs $\vekt{AB}$ et $\vekt{CM}$ sont colinéaires
		\item La question précédente nous donne déjà le fait que $(AB)$ et $(CM)$ sont parallèles, ainsi ABMC est un trapèze
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour la droite $(AB)$ :
		\begin{itemize}
			\item $x_A \neq x_B$ donc la droite $(AB)$ n'est pas verticale
			\item on va chercher son équation réduite sous la forme $y=mx+p$
			\item $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{3-1}{3-(-2)}=\dfrac25$
			\item $p$ vérifie -- grâce au point $A$ -- l'équation $1 = \dfrac25 \times (-2)+p \Rightarrow p=1+\dfrac45=\dfrac95$
			\item ainsi $(AB)$ : $y=\dfrac25x+\dfrac95$
		\end{itemize}
		\item Pour la droite $(CD)$ :
		\begin{itemize}
			\item $x_C \neq x_D$ donc la droite $(CD)$ n'est pas verticale
			\item on va chercher son équation réduite sous la forme $y=mx+p$
			\item $m=\dfrac{y_D-y_C}{x_D-x_B}=\dfrac{1-(-3)}{5-(-5)}=\dfrac{4}{10}=\dfrac25$
			\item $p$ vérifie -- grâce au point $C$ -- l'équation $-3 = \dfrac25 \times (-5)+p \Rightarrow p=-3+2=-1$
			\item ainsi $(CD)$ : $y=\dfrac25x-1$
		\end{itemize}
		\item Les droites $(AB)$ et $(CD)$ ont le même coefficient directeur, donc elles sont parallèles
	\end{enumerate}
	\item Pour savoir si les points $A$, $B$ et $T$ sont alignés, on peut tester les coordonnées de $T$ avec l'équation de $(AB)$ :
	
	\tabu{}$\dfrac25 \times x_T + \dfrac95 = \dfrac25 \times 2 + \dfrac95 = \dfrac45 + \dfrac95 = \dfrac{13}{5} \neq y_T$
	
	Donc le point $T$ n'est pas sur $(AB)$, et donc les points ne sont pas alignés
\end{enumerate}

\begin{center}
	\defgrille{-7}{9}{1}{1}{-7}{6}{1}{1}
	\psset{tickwidth=1pt,unit=0.75cm}
	\begin{pspicture}(-8,-8)(10,7)
		\grillep{linewidth=0.5pt,linecolor=orange,linestyle=dashed}
		\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-7,-7)(9,6)
		\psdots[dotscale=2,linecolor=blue](-5,1)(-3,5)(1,-2)(3,2)(5,6)(7,-5)
		\psline[arrowscale=2,linewidth=1pt,linecolor=purple,linestyle=dashed]{->}(-5,1)(-3,5)
		\psline[arrowscale=2,linewidth=1pt,linecolor=purple,linestyle=dashed]{->}(-3,5)(3,2)
		\psline[arrowscale=2,linewidth=1pt,linecolor=ForestGreen,linestyle=dashed]{->}(-5,1)(1,-2)
		\psline[arrowscale=2,linewidth=1pt,linecolor=ForestGreen,linestyle=dashed]{->}(1,-2)(3,2)
		\psline[arrowscale=2,linewidth=1pt,linecolor=ForestGreen,linestyle=dashed]{->}(3,2)(5,6)
		\psline[arrowscale=2,linewidth=1pt,linecolor=marron,linestyle=dashed]{->}(1,-2)(7,-5)
		\uput[ul](-5,1){\blue \point{A}}
		\uput[ur](-3,5){\blue \point{B}}
		\uput[dr](1,-2){\blue \point{C}}
		\uput[ur](3,1.9){\blue \point{D}}
		\uput[dr](5,6){\blue \point{M}}
		\uput[ur](7,-5){\blue \point{N}}
	\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}