\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\usepackage[sujet]{cp-sujet}
\newcommand{\nomfichier}{[2GT4.DS03] Fonctions, stats - Correction}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfstartview=FitH}  

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT4 - Décembre 2017}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Correction du DS03}

\exonum{}

\medskip

\textbf{Partie A - Utilisation de la calculatrice}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item On utilise la fonction TABLE de la calculatrice pour estimer les valeurs extrêmes de la fonction $f$ sur $\intervFF{-2}{3}$, on obtient comme fenêtre graphique acceptable  \texttt{Xmin=-2} ; \texttt{Xmax=3} ; \texttt{Ymin=-50} et \texttt{Ymax=20}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=5.7cm]{graphics/ds03_corr_exo1_a}~
		\includegraphics[width=5.7cm]{graphics/ds03_corr_exo1_b}~
		\includegraphics[width=5.7cm]{graphics/ds03_corr_exo1_c}
		
		\includegraphics[width=5.7cm]{graphics/ds03_corr_exo1_d}~
		\includegraphics[width=5.7cm]{graphics/ds03_corr_exo1_e}~
		\includegraphics[width=5.7cm]{graphics/ds03_corr_exo1_f}
	\end{center}
	\item On obtient le tracé suivant :
	\begin{center}
		\psset{xunit=2cm,yunit=0.1cm,tickwidth=1pt,algebraic=true}
		\defgrille{-2}{3}{0.5}{0.25}{-50}{20}{10}{5}
		\begin{pspicture}(-2,-50)(3,20)
			\grilles{linewidth=0.5pt,linecolor=orange!40,linestyle=dashed}
			\grillep{linewidth=0.5pt,linecolor=orange!40,linestyle=dashed}
			\psaxes[comma,Dx=0.5,Dy=10,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2,-50)(3,20)
			\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red,plotpoints=300]{-2}{3}{-9*x*x+6*x+15}
			\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2,15)(3,15)
			\psdots[dotsize=5pt,linecolor=gray](-1,0)(1.667,0)(0,15)(0.667,15)
		\end{pspicture}
	\end{center}	
	\item Graphiquement, les coordonnées recherchées sont $\coordpl{-1}{0}$ et $\coordpl{1,6}{0}$
	\item Par tabulations successives, on obtient que la deuxième solution est entre 1,66 et 1,67
	\begin{center}
		\includegraphics[width=5.7cm]{graphics/ds03_corr_exo1_g}~
		\includegraphics[width=5.7cm]{graphics/ds03_corr_exo1_h}
	\end{center}
	\item On obtient, grâce à la calculatrice ou la courbe, le tableau de variations (en valeurs approchées) suivant :
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/1,$f$/2}{${-2}$,${\approx0,25}$,$3$}
			\tkzTabVar{-/$-33$,+/$\approx16$,-/$-48$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\item Graphiquement, on lit comme solutions de $f(x)\pg 15$ l'ensemble $\mathcallig{S} = \intervFF{0}{0,7}$
\end{enumerate}

\textbf{Partie B - Calcul algébrique}

\begin{enumerate}
	\item On a $f(x)=16-(3x-1)^2=16-(9x^2-6x+1)=16-9x^2+6x-1=-9x^2+6x+15$ en développant et en réduisant
	
	Ainsi $f(x)=15 \ssi -9x^2+6x+15=15 \ssi -9x^2+6x=0 \ssi 3x(-3x+2)=0 \ssi \begin{dcases} 3x=0 \\ \text{ou} \\ -3x+2=0 \end{dcases} \ssi \begin{dcases} x=0 \\ \text{ou} \\ x=\frac23 \end{dcases}$ \hfill{} $\mathcallig{S}=\left\lbrace 0\,;\,\dfrac{2}{3} \right\rbrace$
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $3(x + 1)(5 - 3x)=(3x+3)(5-3x)=15x-9x^2+15-9x=-9x^2+6x+15=f(x)$ d'où le résultat
		\item Par éq. produit, $f(x)=0 \ssi 3(x + 1)(5 - 3x)=0 \ssi \begin{dcases} x+1=0 \\ \text{ou} \\ 5-3x=0 \end{dcases} \ssi \begin{dcases} x=-1 \\ \text{ou} \\ x=\frac{5}{3} \approx 1,67 \end{dcases}$ \hfill{} $\mathcallig{S}=\left\lbrace -1\,;\,\dfrac{5}{3} \right\rbrace$
		
		On retrouve algébriquement les solutions déterminées graphiquement dans la partie \textbf{A}
	\end{enumerate}
	\item L'autre équation qu'on pourrait résoudre avec la fonction $f$ est $f(x)=16$ car on peut utiliser la première expression :
	
	\tabu{}$f(x)=16 \ssi 16 - (3x - 1)^2=16 \ssi (3x - 1)^2=0$ qui est une équation produit $\mathcallig{S}=\left\lbrace \dfrac{1}{3} \right\rbrace$
\end{enumerate}

\bigskip

\exonum{}

\begin{enumerate}
	\item La moyenne d'âge des professeurs est :
	
	\tabu{}$\bar{x}_A=\dfrac{30+28+\ldots+37}{10}=38,1$ soit 38,1 ans ; et $\bar{x}_B=\dfrac{35+37+\ldots+55}{11}\approx 38,6$ soit 38,6 ans
	\item Pour déterminer la valeur médiane de l'âge des professeurs du lycée, on ordonne les séries :
	
	\tabu{}lycée A : 10 valeurs, la médiane est entre la 5ème (30) et la 6ème (37), c'est donc 33,5
	
	\tabu{}lycée B : 11 valeurs, la médiane est la 6ème valeur, c'est donc 37
	\item La médiane permet de \og partager \fg{} en deux, donc dans le lycée A, la moitié des professeurs a moins de 33,5 ans, c'est dans le lycée A que les professeurs sont majoritairement plus jeunes
\end{enumerate}

\newpage

\exonum{}

\begin{enumerate}
	\item La dépense moyenne est calculée à l'aide des centres des classes :
	
	$m=\dfrac{20 \times 350 + \ldots +150 \times 120}{350+\ldots+120}=63,1$ soit 63,1 euros	
	\item Les ECC sont donnés dans le tableau suivant : \espacetab
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{13cm}{|l|Y|Y|Y|Y|}
			\hline
			\textbf{Dépense (en \euro{})} & $]0\,;\,40[$ & $[40\,;\,80[$ & $[80\,;\,100[$ & $[100\,;\,200]$ \\ \hline
			\textbf{ECC} & 350 & 670 & 880 & 1000 \\ \hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	\item On obtient la courbe des ECC à l'aide des points $\coordpl{0}{0}$, $\coordpl{40}{350}$, $\coordpl{80}{670}$, $\coordpl{100}{880}$ et $\coordpl{120}{1000}$
	%\begin{center}\includegraphics[width=0.75\linewidth]{graphics/ds05_exo4}\end{center}
	Pour les paramètres, on utilise les droites horizontales de hauteur 500 pour la médiane et 250/750 pour les quartiles : 
	\begin{center}
		\psset{linewidth=1.25pt,xunit=0.05cm,yunit=0.0075cm,ticksize=1pt}
		\begin{pspicture}(0,-100)(210,1100)
		\multido{\n=0+20}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=orange,linestyle=dashed](\n,0)(\n,1100)}
		\multido{\n=0+100}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=orange,linestyle=dashed](0,\n)(210,\n)}
		\psaxes[Dx=20,Dy=100]{->}(0,0)(210,1100)
		\psline[linecolor=red](20,0)(40,350)(80,670)(100,880)(200,1000)
		\psdots[linecolor=blue,dotsize=4pt](20,0)(40,350)(80,670)(100,880)(200,1000)
		\psline[linecolor=purple,linestyle=dashed](0,750)(87.62,750)(87.62,0)
		\psline[linecolor=purple,linestyle=dashed](0,250)(34.29,250)(34.29,0)
		\psline[linecolor=purple,linestyle=dashed](0,500)(58.75,500)(58.75,0)
		\uput[ur](87.62,0){\textcolor{purple}{\ppoint{\strut $Q_3$}}}
		\uput[ur](34.29,0){\textcolor{purple}{\ppoint{\strut $Q_1$}}}
		\uput[ur](58.75,0){\textcolor{purple}{\ppoint{\strut Méd}}}
		\end{pspicture}
	\end{center}
	\begin{multicols}{3}
		\begin{enumerate}
			\item Méd$\approx$59
			\item $Q_1\approx$29
			\item $Q_3\approx$88
		\end{enumerate}
	\end{multicols} \espacetab
	\item L'écart inter-quartile vaut $Q3-Q1 = 88-29 = 59$ et l'étendue vaut $200-0=200$
\end{enumerate}

\bigskip 

\exonum{}

\begin{enumerate}
	\item On calcule les fréquences grâce à la formule $\frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}$ avec $N=250$ et on obtient le tableau :
	\begin{center}
		\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
		\begin{tabularx}{12cm}{|l|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
			\hline
			Nombre de jeans achetés	& 0	& 1	& 2	& 3	& 4	& 5	& 9 \\ \hline
			Nombre d'individus & 30	& 80 & 45 & 25 & 45 & 20 & 5 \\ \hline
			ECC & 30 & 110 & 155 & 180 & 225 & 245 & 250 \\ \hline
			Fréquence & 0,12 & 0,32 & 0,18 & 0,10 & 0,18 & 0,08 & 0,02 \\ \hline
			FCC & 0,12 & 0,44 & 0,62 & 0,72 & 0,90 & 0,98 & 1 \\ \hline
		\end{tabularx}												
	\end{center}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après le tableau (effectifs ou FCC), le pourcentage d'individus ayant achetés 4 jeans au moins est de $\dfrac{30+80+45+25+45}{250}=  90\,\%$
		\item D'après le tableau (effectifs ou FCC), le pourcentage d'individus ayant achetés au moins 5 jeans est de $\dfrac{20+5}{250}=  10\,\%$
		\item On lit dans le tableau des FCC que \og 62\,\% des jeunes ont acheté au plus 2 jeans en 2015 \fg{}
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item $N=250$ donc la médiane est la moyenne entre la 125\ieme{} valeur de la série et la suivante, qui sont des 2 ; donc Méd=2
		\item $N=250$ et $0,25 \times 250 = 62,5$ donc $Q_1$ est la 63\ieme{} valeur qui est un 1 ; donc $Q_1=1$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exonum{}

\begin{enumerate}
	\item La moyenne de cet élève à cet examen est donnée par $\overline{x}=\dfrac{7 \times 4+11 \times 3 + 15 \times 2 + 8 \times 4 + 10 \times 5}{4+3+2+4+8} \approx 9,61$
	\item On note $x$ la note obtenue à la nouvelle épreuve, la nouvelle moyenne est donnée par :
	
	$\overline{x}=\dfrac{7 \times 4+11 \times 3 + 15 \times 2 + 8 \times 4 + 10 \times 5 + x \times 6}{4+3+2+4+8+6}$
	
	On cherche ainsi $x$ de telle sorte que $\overline{x}=\dfrac{7 \times 4+11 \times 3 + 15 \times 2 + 8 \times 4 + 10 \times 5 + x \times 6}{4+3+2+4+8+6} \pg 12 \ssi \dfrac{173+6x}{24} \pg 12$
	
	Et $\dfrac{173+6x}{24} \pg 12 \ssi 173+6x \pg 12 \times 24 \ssi 6x \pg 288-173 \ssi 6x \pg 115 \ssi x \pg \dfrac{115}{6} \approx 19,17$
	
	Ainsi la note (cohérente) minimale à obtenir est 19,25
\end{enumerate}

\end{document}