\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage{cp-sujet}
\newcommand{\nomfichier}{[2GT.CHAP10] Exercices bilan}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfstartview=FitH}
\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre le ...}}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Juin 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Échantillonnage, estimation -- Exos bilan}

\titrexo{Première Partie – Intervalle de fluctuation}\strut\lignetitre

\methode{%
{\small Si on connaît la proportion théorique $p$ (d’un certain caractère ou autre) on peut déterminer l’intervalle de fluctuation (IF) au seuil de 95\,\%, qui est $\intervFF{p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}.$ Cela signifie que pour environ 95\,\% des échantillons de taille $n$, la fréquence pratique $f$ est dedans.}%
}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère le  \og PILE ou FACE\fg. Déterminer la proportion théorique $p$ pour l’obtention de PILE.
		\item Déterminer l’IF au seuil de 95\,\% pour un échantillon de taille 100.
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item On considère le lancer d’un dé équilibré. Déterminer la proportion théorique $p$ pour l’obtention du 3.
		\item Déterminer l’IF (arrondi au millième) au seuil de 95\,\% pour échantillon de taille 10000.
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans une forêt tropicale, 24\,\% des serpents sont venimeux. À quoi correspond la valeur 24\,\% ?
		\item On prélève 200 serpents, déterminer l’IF (arrondi au millième) au seuil de 95\,\%.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\titrexo{Deuxième Partie – Prise de décision}\strut\lignetitre

\methode{%
{\small Pour étudier si une fréquence $f$ observée sur un échantillon de taille $n$ est compatible avec la proportion théorique $p$, on teste l’appartenance de $f$ à l’IF au seuil de 95\,\% :
\begin{itemize}
	\item si $f$ n’est pas dans l’IF, alors on peut rejeter l’hypothèse que l’échantillon soit compatible, au risque de 5\,\% de se tromper (on peut dire qu’il n’est pas représentatif) ;
	\item si $f$ est dans l’IF, alors on ne peut pas rejeter l’hypothèse que l’échantillon soit compatible (on peut dire qu’il est représentatif).
\end{itemize}}%
}

Cette année, 55\,\% des candidats qui ont passé un certain concours l’ont réussi. Pour deux centres :

\tabu{}\textbf{Centre A} : sur 100 personnes qui ont présenté ce concours, 46 l’ont réussi ;

\tabu{}\textbf{Centre B} : sur 2500 personnes qui ont présenté ce concours, 1274 l’ont réussi.
\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le pourcentage $f_A$ de réussite du centre \textbf{A} ?
		\item Quel est le pourcentage $f_B$ de réussite du centre \textbf{B} ?
		\item Lequel de ces deux centres a le mieux réussi à ce concours ?
		\item Quelle est la proportion théorique $p$ dans cet exercice ?
	\end{enumerate}
	\item On assimile le centre \textbf{A} à un échantillon de taille $n=100$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l’IF au seuil de 95\,\%.
		\item Est-ce que $f_A$ est dans cet IF ?
	\end{enumerate}
	\item On assimile le centre \textbf{B} à un échantillon.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est sa taille ?
		\item Déterminer l’IF au seuil de 95\,\%.
		\item Est-ce que $f_B$ est dans cet IF ?
	\end{enumerate}
	\item Conclure sur le centre qui est le plus représentatif du résultat national à ce concours.
\end{enumerate}

\medskip

\titrexo{Intervalle de confiance (ou de sondage)}\strut\lignetitre

\methode{%
Si on connaît la fréquence $f$ d’un caractère dans un échantillon de taille $n$, on peut estimer la proportion théorique $p$ dans la population à l’aide de l’intervalle de confiance (IC) au niveau 0,95 (95\,\%), $\intervFF{p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}$.%
}

Un candidat à une élection effectue un sondage dans sa circonscription comportant \np{95842} électeurs. Sur \np{1068} personnes interrogées, 550 déclarent vouloir voter pour ce candidat.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer la fréquence $f$ d’intention de vote pour ce candidat sur cet échantillon.
	\item Déterminer l’IC au niveau 0,95.
	\item Le candidat peut-il affirmer être élu ?
\end{enumerate}

\end{document}