\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
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\newcommand{\nomfichier}{[2GT.DM06] Fractions continues}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
\usepackage{hyperref}
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\renewcommand{\i}{\text{i}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{À rendre avant le \dots}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Décembre 2017}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{DM06 - Fractions continues}

\begin{leftbar}
{\Large \textbf{Introduction :}}
\parpic[r]{\includegraphics[height=4cm]{graphics/galois}}

\textit{Evariste Galois} est né il y a environ 200 ans, en 1811. Il est malheureusement mort à 22 ans dans un duel mais la veille il a écrit toute sa pensée sur la résolubilité des équations et aujourd'hui encore sa théorie et encore étudiée dans les études en Master et même après. Nous allons nous intéresser dans ce DM à ses recherches sur les \textit{fractions continues}.

\smallskip

Vous allez avoir besoin, pour ce DM, d'un logiciel de calcul formel en ligne, Xcas, qui se trouve à l'adresse \url{https://www.xcasenligne.fr}.

\smallskip

Les fractions continues que nous allons étudier sont celles de la forme : \[ x=a+\dfrac{1}{b+\dfrac{1}{a+\dfrac{1}{b+\dots}}} \text{ avec } a>0 \text{ et } b>0 \]
\end{leftbar}

{\blue \Large \textbf{Partie 1 : Dans cette partie \boldmath $a = b = 1$ \unboldmath{}}}

\medskip

On s'intéresse donc au nombre $x=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dots}}}$.

\begin{enumerate}
	\item Quel est le signe de $x$ ?
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel \og nombre \fg{} retrouve-t-on dans le dénominateur de la fraction définissant $x$ ?
		\item En déduire que $x$ vérifie la relation $x-1=\dfrac1x$ puis en déduire que $x$ vérifie l'équation :\[ x^2-x-1=0.\] 
	\end{enumerate}
	\item Vérifier qu'on a, pour tout réel $x$, la relation $x^2-x-1=\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac54$.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre, par la méthode de votre choix, l'équation $x^2-x-1=0$.
		\item En déduire la valeur de $x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

{\blue \Large \textbf{Partie 2 : Dans cette partie \boldmath $a = 1 \text{ et } b = 2$ \unboldmath{}}}

\medskip

On s'intéresse donc au nombre $x=1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dots}}}$.

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans la fraction définissant $x$, \og  retrouver \fg{} $x$.
		\item En déduire une relation donnant $x-1$ en fonction de $x$.
		\item À l'aide de cette relation, et en utilisant de la mise au même dénominateur et un produit en croix, déduire que $x$ vérifie l'équation :\[2x^2-2x-1=0.\] 
	\end{enumerate}
	\item À l'aide du logiciel Xcas, résoudre l'équation $2x^2-2x-1=0$.
	\item En déduire la valeur de $x$.
\end{enumerate}

\medskip

{\blue \Large \textbf{Partie 3 : Dans cette partie \boldmath $a = 2 \text{ et } b = 3$ \unboldmath{}}}

\medskip

Reproduire la démarche de la \textbf{partie 2} pour :
\begin{enumerate}
	\item obtenir une équation vérifiée par $x$ ;
	\item la résoudre avec Xcas ;
	\item en déduire la valeur de $x$.
\end{enumerate} 

\newpage

{\blue \Large \textbf{Petite aide concernant le logiciel Xcas}}

\medskip

Xcas est un logiciel de calcul formel, pour lequel la version en ligne se présente sous la forme suivante :
\begin{center}
	\includegraphics[width=\linewidth]{graphics/dm06_xcasenligne}
\end{center}
On accède à la \textit{console} à l'aide de l'icône \includegraphics[height=1em]{graphics/dm06_xcasconsole} :
\begin{center}
	\includegraphics[width=\linewidth]{graphics/dm06_xcasenligneconsole}
\end{center}
Dans cette \textit{console}, on peut demander -- par exemple -- de résoudre des équations :
\begin{itemize}
	\item la syntaxe est \texttt{solve(équation,variable)}
	\item les multiplications doivent obligatoirement être déclarées avec le symbole *
\end{itemize}


\end{document}