\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
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\newcommand{\nomfichier}{[2GT.DM02] Fonction et géométrie}
\author{Pierquet}
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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{À rendre le ...}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Septembre 2017}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{DM02 - Avec un peu de géométrie \dots}

Soit ABCD un carré de côté 6~cm, M et N sont deux points mobiles respectivement sur $[AB]$ et $[BC]$ tels que $AM=BN$.

Le but de ce DM est d'étudier l'aire du triangle MND.

\bigskip

\titrexo{Première partie - Un cas particulier}

\medskip

Dans cette partie, on se place dans le cas où $AM=2$~cm.

\begin{enumerate}
	\item Faire une figure.
	\item Calculer l'aire des triangles AMD, MBN et DCN.
	\item En déduire l'aire du triangle MND.
\end{enumerate}

\medskip

\titrexo{Deuxième partie - Cas général}

\medskip

On note à présent $AM=BN=x$ où $x$ est un réel.

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\draw[line width=1pt] (0,0) rectangle (6,6);
		\draw (0,0) node[below left] {$D$} ;
		\draw (6,0) node[below right] {$C$} ;
		\draw (0,6) node[above left] {$A$} ;
		\draw (6,6) node[above right] {$B$};
		\draw[black,fill=blue!50] (0,0) -- (6,3.5) -- (2.5,6) -- cycle;
		\draw (2.5,6) node[above right] {$M$} ;
		\draw (6,3.5) node[below right] {$N$} ;
		\draw[<->,line width=1pt,red] (0,-0.25) -- (6,-0.25) node[below,midway] {\red 6~cm};
		\draw[<->,line width=1pt,red] (0,6.25) -- (2.5,6.25) node[above,midway] {\red $x$};
		\draw[<->,line width=1pt,red] (6.25,6) -- (6.25,3.5) node[right,midway] {\red $x$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Quel est le plus petit intervalle dans lequel varie $x$ ?
	\item Exprimer la longueur CN en fonction de $x$.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'aire du triangle CDN en fonction de $x$ est $-3x+18$.
		\item Montrer que les aires des triangles AMD et MBN en fonction de $x$ sont : \[ \mathcallig{A}_{AMD}=3x \text{ et } \mathcallig{A}_{MBN}=-0,5x^2+3x. \]
		\item En déduire l'aire du triangle MND en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\titrexo{Troisième partie - Étude (graphique) de l'aire de MND}

\medskip

Soit $f$ la fonction définissant l'aire de MND, en cm$^2$.

Cette fonction $f$ est ainsi définie sur $\intervFF{0}{6}$ par : \[ f(x)=0,5x^2-3x+18.\]

\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter le tableau de valeurs (arrondies à 0,1 près) suivant :
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{13}{Y|}}
		\hline
		$x$ & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 & 3 & 3,5 & 4 & 4,5 & 5 & 5,5 & 6 \\ \hline
		$f(x)$ & 18 & & & & & & & & & & & & \\ \hline
	\end{tabularx}
	\item Tracer, soigneusement, dans un repère orthogonal, la courbe représentative $\courbe{f}$ de la fonction $f$.
	\item Déterminer graphiquement :
	\begin{enumerate}
		\item les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire de MND est égale à 15~cm$^2$ ;
		\item le nombre de position(s) de M sur $[AB]$ telle(s) que l'aire de MND soit égale à 17~cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}