\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\usepackage{cp-sujet}
\usepackage{cp-python}
\usepackage{picins}
\newcommand{\nomfichier}{[2GT.DM06] Fractions continues - Correction}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfstartview=FitH}  

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Décembre 2017}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Correction du DM06}

{\blue \Large \textbf{Partie 1 : Dans cette partie \boldmath $a = b = 1$ \unboldmath{}}}

\begin{enumerate}
	\item Le nombre $x$ est positif car il n'est constitué que de fractions de nombres positifs ! 
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item En fait, on retrouve $x$ dans le dénominateur qui le définit (c'est une sorte de mise en abyme !) \[x=1+\dfrac{1}{\red 1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dots}}}=1+\dfrac{1}{\red x}\]
		
		\item On obtient donc directement (en transposant le 1) le fait que $x$ vérifie la relation $x-1=\dfrac1x$ 
		
		En transformant l'équation obtenue, $x-1=\dfrac1x \mclp{\Rightarrow}{\times x} x(x-1)=1 \Rightarrow x^2-x=1 \Rightarrow$ \boldmath$x^2-x-1=0$ \unboldmath
	\end{enumerate}
	\item On a, en développant, $\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac54=x^2-2\times x\times \dfrac12 + \dfrac14 - \dfrac54= x^2-1x-\dfrac44=x^2-x-1$
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Ainsi $x^2-x-1=0 \ssi \left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac54 = 0 \Rightarrow \left(x-\dfrac12\right)^2 = \dfrac54 \ssi \left(x-\dfrac12\right)^2 = \left( \dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 \ssi \begin{dcases} x-\dfrac12=\dfrac{\sqrt{5}}{2} \\ \text{ou} \\ x-\dfrac12=-\dfrac{\sqrt{5}}{2} \end{dcases}$
		
		Ainsi on obtient $\mathcallig{S} = \left\lbrace \dfrac12+\dfrac{\sqrt{5}}{2} \,;\, \dfrac12-\dfrac{\sqrt{5}}{2} \right\rbrace \approx \left\lbrace \vphantom{\dfrac{\sqrt{5}}{2}}1,618 \,;\, -0,618 \right\rbrace$
		\item La seule solution positive obtenue est \boldmath$x=\dfrac12+\dfrac{\sqrt{5}}{2}$\unboldmath
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

{\blue \Large \textbf{Partie 2 : Dans cette partie \boldmath $a = 1 \text{ et } b = 2$ \unboldmath{}}}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Comme dans la \textbf{partie 1}, on peut retrouver $x$ au dénominateur qui le définit : $x=1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{\red 1+\dfrac{1}{2+\dots}}}$
		\item On obtient ainsi $x-1=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{\red x}}$
		\item On \og transforme \fg{} $x-1=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{\red x}}=\dfrac{1}{\dfrac{2x}{x}+\dfrac{1}{x}}=\dfrac{1}{\dfrac{2x+1}{x}}=\dfrac{x}{2x+1}$
		
		De ce fait, $x-1=\dfrac{x}{2x+1} \Rightarrow (2x+1)(x-1)=x$ par produit en croix
		
		$\phantom{\text{De ce fait, }x-1=\dfrac{x}{2x+1}} \Rightarrow 2x^2-2x+x-1=x \Rightarrow$ \boldmath$2x^2-2x-1=0$ \unboldmath
	\end{enumerate}
	\item Grâce à Xcas, on peut résoudre l'équation $2x^2-2x-1=0$ : $\mathcallig{S} = \left\lbrace \dfrac12+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \,;\, \dfrac12-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right\rbrace \approx \left\lbrace \vphantom{\dfrac{\sqrt{5}}{2}}1,366 \,;\, -0,366 \right\rbrace$
	\begin{center}\includegraphics[scale=0.6]{graphics/dm06_corr_xcas_a}\end{center}
	\item Comme pour la \textbf{partie 1}, $x$ étant positif, on déduit que \boldmath$x=\dfrac12+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$\unboldmath
\end{enumerate}

\medskip

{\blue \Large \textbf{Partie 3 : Dans cette partie \boldmath $a = 2 \text{ et } b = 3$ \unboldmath{}}}

\medskip

Comme dans les \textbf{parties 1 et 2}, on peut retrouver $x$ au dénominateur qui le définit : $x=2+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{\red 2+\dfrac{1}{3+\dots}}}$

On obtient ainsi $x-2=\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{\red x}}$ et on \og transforme \fg{} $x-2=\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{\red x}}=\dfrac{1}{\dfrac{3x}{x}+\dfrac{1}{x}}=\dfrac{1}{\dfrac{3x+1}{x}}=\dfrac{x}{3x+1}$

De ce fait, $x-2=\dfrac{x}{3x+1} \Rightarrow (3x+1)(x-2)=x$ par produit en croix $\Rightarrow 3x^2-6x+x-2=x \Rightarrow$ \boldmath$3x^2-6x-2=0$ \unboldmath

Grâce à Xcas, on peut résoudre l'équation $3x^2-6x-2=0$ : $\mathcallig{S} = \left\lbrace 1+\dfrac{\sqrt{15}}{3} \,;\, 1-\dfrac{\sqrt{15}}{3} \right\rbrace \approx \left\lbrace \vphantom{\dfrac{\sqrt{5}}{2}}2,29 \,;\, -0,29 \right\rbrace$
\begin{center}\includegraphics[scale=0.6]{graphics/dm06_corr_xcas_b}\end{center}

Comme pour les \textbf{parties 1 et 2}, $x$ étant positif, on déduit que \boldmath$x=\dfrac{1}{3} \left( 3 + \sqrt{15} \right) = \dfrac{3}{3} + \dfrac{\sqrt{15}}{3} = 1+\dfrac{\sqrt{15}}{3}$\unboldmath

\bigskip

{\blue \Large \textbf{Compléments Python}}

\medskip

Une manière de noter une fraction continue consiste à utiliser la notation suivante (qui peut être finie ou infinie):
\begin{multicols}{2}
	\begin{itemize}
		\item $\dfrac12+\dfrac{\sqrt{5}}{2}\phantom{.} = \left[ 1\,;\,1\,;\,1\,;\,1\,;\,1\,;\,1\,;\,1\,;\,1\,;\,1\,;\dots \right]$
		\item $\dfrac12+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\phantom{.} = \left[ 1\,;\,2\,;\,1\,;\,2\,;\,1\,;\,2\,;\,1\,;\,2\,;\,1\,;\dots \right]$
		\item $1+\dfrac{\sqrt{15}}{3} = \left[ 2\,;\,3\,;\,2\,;\,3\,;\,2\,;\,3\,;\,2\,;\,3\,;\,2\,;\dots \right]$
		\item $\dfrac{107}{48} = \left[2\,;\,4\,;\,2\,;\,1\,;\,3\right]$
	\end{itemize}
\end{multicols}
Pour déterminer les \textit{chiffres} successifs, on travaille par approximations de proche en proche :
\begin{itemize}
	\item $1+\dfrac{\sqrt{15}}{3} \approx 2,290994449 \approx {\red 2} + 0,290994449 \approx {\red 2} + \dfrac{1}{\frac{1}{0,290994449}} \approx {\red 2}+\dfrac{1}{3,43649167} \approx {\red 2}+\dfrac{1}{{\blue 3}+0,43649167} \approx {\red 2}+\dfrac{1}{{\blue 3}+\dots}$
	\item $1+\dfrac{\sqrt{15}}{3} = \left[ {\red 2}\,;\,{\blue 3}\,;\dots \right]$
\end{itemize}
Python permet de déterminer les \textit{chiffres successifs} des non rationnels, en utilisant une boucle \texttt{for} et \texttt{floor} :

\begin{python}
	from lycee import * # on importe le module lycee
	def fraction_continue(a,n): # on aura a et le nombre de calculs
		print(a,"=") # on commence par afficher la valeur décimale de a
		frac_cont=[] #  on crée la liste (vide pour le moment)
		frac_cont.append(floor(a)) # on commence par stocker la partie entière
		for i in range(n-1): # on fait n-1 fois le même procédé
			a=1/(a-floor(a)) # on modifie la partie décimale
			frac_cont.append(floor(a)) # on stocke la nouvelle partie entière
		return(frac_cont) # on affiche les n premières valeurs calculées	
\end{python}

\begin{pythonshell}
	<@\blue \verb|*** Console de processus distant Réinitialisée ***|@>
	<@\verb|>>> fraction_continue(1/2+sqrt(5)/2,10)|@>
	<@\color{Aquamarine} \verb|1.618033988749895 = 	[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]|@>
	<@\verb|>>> fraction_continue(1/2+sqrt(3)/2,10)|@>
	<@\color{Aquamarine} \verb|1.3660254037844386 = [1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2]|@>
	<@\verb|>>> fraction_continue(1+sqrt(15)/3,10)|@>
	<@\color{Aquamarine} \verb|2.2909944487358054 = [2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3]|@>
	<@\verb|>>> fraction_continue(pi,10)|@>
	<@\color{Aquamarine} \verb|3.141592653589793 = [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1]|@>
	<@\verb|>>>|@>
\end{pythonshell}

\end{document}