\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\usepackage[sujet]{cp-sujet}
\usepackage{cp-python}
\newcommand{\nomfichier}{[2GT7.DS03] Fonctions, stats - Correction}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfstartview=FitH}  

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT7 - Décembre 2017}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Correction du DS03}

\exonum{}

\begin{enumerate}
	\item La moyenne d'âge des employés est :
	
	\tabu{}$\bar{x}_A=\dfrac{30+28+\ldots+37}{10}=38,1$ soit 38,1 ans ; et $\bar{x}_B=\dfrac{35+37+\ldots+55}{11}\approx 38,6$ soit 38,6 ans
	\item Pour déterminer la valeur médiane de l'âge des professeurs du magasin, on ordonne les séries :
	
	\tabu{}magasin A : 10 valeurs, la médiane est entre la 5ème (30) et la 6ème (37), c'est donc 33,5
	
	\tabu{}magasin B : 11 valeurs, la médiane est la 6ème valeur, c'est donc 37
	\item La médiane permet de \og partager \fg{} en deux, donc dans le magasin A, la moitié des employés a moins de 33,5 ans, c'est dans le magasin A que les employés sont majoritairement plus jeunes
\end{enumerate}

\bigskip

\exonum{}

\medskip

\textbf{Partie A - Utilisation de la calculatrice}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item On utilise la fonction TABLE de la calculatrice pour estimer les valeurs extrêmes de la fonction $f$ sur $\intervFF{-2}{3}$, on obtient comme fenêtre graphique acceptable  \texttt{Xmin=-2} ; \texttt{Xmax=3} ; \texttt{Ymin=-40} et \texttt{Ymax=30}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=5.7cm]{graphics/ds03_corr_exo1_a}~
		\includegraphics[width=5.7cm]{graphics/ds03_corr_exo1_b}~
		\includegraphics[width=5.7cm]{graphics/ds03_corr_exo1_c}
		
		\includegraphics[width=5.7cm]{graphics/ds03_corr_exo1_d}~
		\includegraphics[width=5.7cm]{graphics/ds03_corr_exo1_e}~
		\includegraphics[width=5.7cm]{graphics/ds03_corr_exo1_f}
	\end{center}
	\item On obtient le tracé suivant :
	\begin{center}
		\psset{xunit=2cm,yunit=0.1cm,tickwidth=1pt,algebraic=true}
		\defgrille{-2}{3}{0.5}{0.25}{-40}{30}{10}{5}
		\begin{pspicture}(-2,-40)(3,30)
			\grilles{linewidth=0.5pt,linecolor=orange!40,linestyle=dashed}
			\grillep{linewidth=0.5pt,linecolor=orange!40,linestyle=dashed}
			\psaxes[comma,Dx=0.5,Dy=10,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2,-40)(3,30)
			\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red,plotpoints=300]{-2}{3}{-9*x*x+6*x+24}
			\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2,24)(3,24)
			\psdots[dotsize=5pt,linecolor=gray](2,0)(-1.333,0)(0,24)(0.667,24)
		\end{pspicture}
	\end{center}	
	\item Graphiquement, les coordonnées recherchées sont $\coordpl{2}{0}$ et $\coordpl{-1,3}{0}$
	\item Par tabulations successives, on obtient que la deuxième solution est entre $-1,34$ et $-1,33$
	\begin{center}
		\includegraphics[width=5.7cm]{graphics/ds03_corr_exo1_g}~
		\includegraphics[width=5.7cm]{graphics/ds03_corr_exo1_h}
	\end{center}
	\item On obtient, grâce à la calculatrice ou la courbe, le tableau de variations (en valeurs approchées) suivant :
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/1,$f$/2}{${-2}$,${\approx0,25}$,$3$}
			\tkzTabVar{-/$-24$,+/$\approx25$,-/$-39$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\item Graphiquement, on lit comme solutions de $f(x)\pg 24$ l'ensemble $\mathcallig{S} = \intervFF{0}{0,7}$
\end{enumerate}

\textbf{Partie B - Calcul algébrique}

\begin{enumerate}
	\item On a $f(x)=25-(3x-1)^2=25-(9x^2-6x+1)=25-9x^2+6x-1=-9x^2+6x+24$ en développant et en réduisant
	
	Ainsi $f(x)=24 \ssi -9x^2+6x+24=24 \ssi -9x^2+6x=0 \ssi 3x(-3x+2)=0 \ssi \begin{dcases} 3x=0 \\ \text{ou} \\ -3x+2=0 \end{dcases} \ssi \begin{dcases} x=0 \\ \text{ou} \\ x=\frac23 \end{dcases}$ \hfill{} $\mathcallig{S}=\left\lbrace 0\,;\,\dfrac{2}{3} \right\rbrace$
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $3(2-x)(3x+4)=(6-3x)(3x+4)=18x+24-9x^2-12x=-9x^2+6x+24=f(x)$ d'où le résultat
		\item Par éq. produit, $f(x)=0 \ssi 3(2-x)(3x+4)=0 \ssi \begin{dcases} 2-x=0 \\ \text{ou} \\ 3x+4=0 \end{dcases} \ssi \begin{dcases} x=2 \\ \text{ou} \\ x=\frac{-4}{3} \approx -1,33 \end{dcases}$ \hfill{} $\mathcallig{S}=\left\lbrace 2\,;\,\dfrac{-4}{3} \right\rbrace$
		
		On retrouve algébriquement les solutions déterminées graphiquement dans la partie \textbf{A}
	\end{enumerate}
	\item L'autre équation qu'on pourrait résoudre avec la fonction $f$ est $f(x)=25$ car on peut utiliser la première expression :
	
	\tabu{}$f(x)=25 \ssi 25 - (3x - 1)^2=25 \ssi (3x - 1)^2=0$ qui est une équation produit $\mathcallig{S}=\left\lbrace \dfrac{1}{3} \right\rbrace$
\end{enumerate}

\newpage

\exonum{}

\begin{enumerate}
	\item On obtient facilement le diagramme en bâtons suivant :
	\begin{center}
		\psset{tickwidth=1pt,yunit=0.1cm}
		\defgrille{0}{10}{1}{1}{0}{90}{10}{10}
		\begin{pspicture}(0,-5)(10,95)
			\grillep{linewidth=0.6pt,linecolor=orange!50,linestyle=dashed}
			\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(10,90)
			\psset{linewidth=3pt,linecolor=red}
			\psline(0,0)(0,30)
			\psline(1,0)(1,80)
			\psline(2,0)(2,45)
			\psline(3,0)(3,25)
			\psline(4,0)(4,45)
			\psline(5,0)(5,20)
			\psline(9,0)(9,5)
			\uput[r](10,0){Nombre de jeux vidéos}
			\uput[u](0,90){Effectif}
		\end{pspicture}
	\end{center}
	\item On calcule les fréquences grâce à la formule $\frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}$ avec $N=250$ et on obtient le tableau :
	\begin{center}
		\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
		\begin{tabularx}{12cm}{|l|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
			\hline
			Nombre de jeux vidéos achetés	& 0	& 1	& 2	& 3	& 4	& 5	& 9 \\ \hline
			Nombre d'individus & 30	& 80 & 45 & 25 & 45 & 20 & 5 \\ \hline
			ECC & 30 & 110 & 155 & 180 & 225 & 245 & 250 \\ \hline
			Fréquence & 0,12 & 0,32 & 0,18 & 0,10 & 0,18 & 0,08 & 0,02 \\ \hline
			FCC & 0,12 & 0,44 & 0,62 & 0,72 & 0,90 & 0,98 & 1 \\ \hline
		\end{tabularx}												
	\end{center}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après le tableau (effectifs ou FCC), le pourcentage d'individus ayant achetés 4 jeux vidéos au moins est de $\dfrac{30+80+45+25+45}{250}=  90\,\%$
		\item D'après le tableau (effectifs ou FCC), le pourcentage d'individus ayant achetés au moins 5 jeux vidéos est de $\dfrac{20+5}{250}=  10\,\%$
		\item On lit dans le tableau des FCC que \og 62\,\% des jeunes ont acheté au plus 2 jeux vidéos en 2015 \fg{}
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item $N=250$ donc la médiane est la moyenne entre la 125\ieme{} valeur de la série et la suivante, qui sont des 2 ; donc Méd=2
		\item $N=250$ et $0,25 \times 250 = 62,5$ donc $Q_1$ est la 63\ieme{} valeur qui est un 1 ; donc $Q_1=1$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exonum{}

\begin{enumerate}
	\item La dépense moyenne est calculée à l'aide des centres des classes :
	
	$m=\dfrac{20 \times 350 + \ldots +150 \times 120}{350+\ldots+120}=63,1$ soit 63,1 euros de dépense moyenne
	\item Les ECC sont donnés dans le tableau suivant : \espacetab
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{13cm}{|l|Y|Y|Y|Y|}
			\hline
			\textbf{Dépense (en \euro{})} & $]0\,;\,40[$ & $[40\,;\,80[$ & $[80\,;\,100[$ & $[100\,;\,200]$ \\ \hline
			\textbf{ECC} & 350 & 670 & 880 & 1000 \\ \hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	\item On obtient la courbe des ECC à l'aide des points $\coordpl{0}{0}$, $\coordpl{40}{350}$, $\coordpl{80}{670}$, $\coordpl{100}{880}$ et $\coordpl{120}{1000}$
	
	Pour les paramètres, on utilise les droites horizontales de hauteur 500 pour la médiane et 250/750 pour les quartiles : 
	\begin{center}
		\psset{linewidth=1.25pt,xunit=0.05cm,yunit=0.0075cm,tickwidth=1pt}
		\begin{pspicture}(0,-100)(210,1100)
		\multido{\n=0+20}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=orange,linestyle=dashed](\n,0)(\n,1100)}
		\multido{\n=0+100}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=orange,linestyle=dashed](0,\n)(210,\n)}
		\psaxes[Dx=20,Dy=100]{->}(0,0)(210,1100)
		\psline[linecolor=red](20,0)(40,350)(80,670)(100,880)(200,1000)
		\psdots[linecolor=blue,dotsize=4pt](20,0)(40,350)(80,670)(100,880)(200,1000)
		\psline[linecolor=purple,linestyle=dashed](0,750)(87.62,750)(87.62,0)
		\psline[linecolor=purple,linestyle=dashed](0,250)(34.29,250)(34.29,0)
		\psline[linecolor=purple,linestyle=dashed](0,500)(58.75,500)(58.75,0)
		\uput[ur](87.62,0){\textcolor{purple}{\ppoint{\strut $Q_3$}}}
		\uput[ur](34.29,0){\textcolor{purple}{\ppoint{\strut $Q_1$}}}
		\uput[ur](58.75,0){\textcolor{purple}{\ppoint{\strut Méd}}}
		\end{pspicture}
	\end{center}
	\begin{multicols}{3}
		\begin{enumerate}
			\item Méd$\approx$59
			\item $Q_1\approx$29
			\item $Q_3\approx$88
		\end{enumerate}
	\end{multicols} \espacetab
	\item L'écart inter-quartile vaut $Q3-Q1 = 88-29 = 59$ et l'étendue vaut $200-0=200$
	\item Étant donné que les classes ne sont pas de même amplitude, la hauteur des rectangles de l'histogrammes ne peuvent pas être données grâce à un axe vertical (proportionnalité par rapport à leurs aires !)
\end{enumerate}	

\textbf{Compléments sur les histogrammes :} 
	
\medskip
	
Une technique consiste à calculer ce qu'on appelle les \og effectifs corrigés \fg{} qui consistent à moduler les effectifs en fonction de la largeur des classes :
\begin{itemize}
	\item on calcule l'amplitude (largeur) de la classe la plus grande, notée $\ell$ ;
	\item on détermine l'effectif corrigé grâce à la formule $c=\dfrac{\text{effectif de la classe}}{\text{largeur de la classe}} \times \ell$
	\item on peut construire l'histogramme (sans échelle verticale puisque l'échelle est liée à la surface des rectangles !)
\end{itemize}
Ici la plus grande classe est $[100\,;\,200]$ donc on a $\ell=100$
	
Pour la première classe, l'effectif corrigé est $c=\dfrac{350}{40} \times 100 = 875$, on obtient ainsi le tableau suivant :
\begin{center}
	\begin{tabularx}{13cm}{|l|Y|Y|Y|Y|}
		\hline
		\textbf{Dépense (en \euro{})} & $]0\,;\,40[$ & $[40\,;\,80[$ & $[80\,;\,100[$ & $[100\,;\,200]$ \\ \hline
		\textbf{Effectif} & 350 & 320 & 210 & 120 \\ \hline
		\textbf{Effectif corrigé} & 875 & 800 & 1050 & 120 \\ \hline
	\end{tabularx}
\end{center}
Et l'histogramme peut être tracé :
\begin{center}
	\psset{linewidth=1.25pt,xunit=0.05cm,yunit=0.0075cm,ticksize=1pt}
	\begin{pspicture}(0,-100)(220,1100)
		\multido{\n=0+20}{12}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange,linestyle=dashed](\n,0)(\n,1100)}
		\multido{\n=0+100}{12}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange,linestyle=dashed](0,\n)(220,\n)}
		\psset{linewidth=2pt,linecolor=red,fillstyle=solid,fillcolor=blue!50}
		\psframe(0,0)(40,875)
		\psframe(40,0)(80,800)
		\psframe(80,0)(100,1050)
		\psframe(100,0)(200,120)
		\psaxes[linewidth=1.25pt,linecolor=black,yAxis=false,Dx=20,Dy=100]{->}(0,0)(220,1100)
		\rput(20,437,5){\point{350}}
		\rput(60,400){\point{320}}
		\rput(90,525){\point{210}}
		\rput(150,60){\point{120}}
	\end{pspicture}
\end{center}

On peut même créer un petit script Python pour déterminer les effectifs corrigés :
\begin{python}
	from lycee import *
	def effectif_corrige(eff,ampl_cl,ampl_max):
		eff_corr=eff/ampl_cl*ampl_max
		return("L'effectif corrigé de %s est %s" % (eff,eff_corr))
\end{python}

\begin{pythonshell}
	<@\blue \verb|*** Console de processus distant Réinitialisée ***|@>
	<@\verb|>>> effectif_corrige(350,40,100)|@>
	<@\color{Aquamarine} \verb|L'effectif corrigé de 350 est 875.0|@>
	<@\verb|>>> >>> effectif_corrige(320,40,100)|@>
	<@\color{Aquamarine} \verb|L'effectif corrigé de 320 est 800.0|@>
	<@\verb|>>> effectif_corrige(210,20,100)|@>
	<@\color{Aquamarine} \verb|L'effectif corrigé de 210 est 1050.0|@>
	<@\verb|>>> effectif_corrige(120,100,100)|@>
	<@\color{Aquamarine} \verb|L'effectif corrigé de 120 est 120.0|@>
	<@\verb|>>>|@>
\end{pythonshell}

\bigskip 

\exonum{}

\begin{enumerate}
	\item La moyenne de cet élève à cet examen est donnée par $\overline{x}=\dfrac{7 \times 4+11 \times 3 + 15 \times 2 + 9 \times 4 + 12 \times 5}{4+3+2+4+8} \approx 10,39$
	\item On note $x$ la note obtenue à la nouvelle épreuve, la nouvelle moyenne est donnée par :
	
	$\overline{x}=\dfrac{7 \times 4+11 \times 3 + 15 \times 2 + 9 \times 4 + 12 \times 5 + x \times 6}{4+3+2+4+8+6}$
	
	On cherche ainsi $x$ de telle sorte que $\overline{x}=\dfrac{7 \times 4+11 \times 3 + 15 \times 2 + 9 \times 4 + 12 \times 5 + x \times 6}{4+3+2+4+8+6} \pg 12 \ssi \dfrac{187+6x}{24} \pg 12$
	
	Et $\dfrac{187+6x}{24} \pg 12 \ssi 187+6x \pg 12 \times 24 \ssi 6x \pg 288-187 \ssi 6x \pg 101 \ssi x \pg \dfrac{101}{6} \approx 16,83$
	
	Ainsi la note (cohérente) minimale à obtenir est 17
\end{enumerate}

\end{document}