\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\usepackage{cp-sujet}
\newcommand{\nomfichier}{}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfstartview=FitH}  
\renewcommand{\i}{\text{i}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT4 - Décembre 2017}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{- \thepage{} -}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Compléments sur les quartiles\dots}

\intro{
Puisque le cours sur les quartiles est peut-être incomplet, vu que le livre ne peut pas apporter toutes les précisions nécessaires et utiles, ou bien répondre aux questions, voilà quelques compléments\dots
}

\espacepara

\prop[s]{
Pour commencer voilà la \textbf{vraie} définition des quartiles pour une série \textbf{ordonnée} :

\begin{itemize}
	\item on appelle premier quartile de la série, noté $Q_1$, la \textit{plus petite valeur de la série} telle qu'\textbf{au-moins} 25\,\% des valeurs de la série lui sont inférieures ou égales
	\item on appelle troisième quartile de la série, noté $Q_3$, la \textit{plus petite valeur de la série} telle qu'\textbf{au-moins} 75\,\% des valeurs de la série lui sont inférieures ou égales
	\item on appelle \textbf{écart interquartile} la différence $Q_3-Q_1$
\end{itemize}
}

\espacepara

\rmq[s]{
Il faut déjà noter que les quartiles sont \textbf{obligatoirement} des valeurs de la série, au contraire de la médiane qui peut \og tomber au milieu de deux valeurs \fg{}

\smallskip

Les quartiles, avec la médiane, permettent de partager une série en quatre parties \textit{sensiblement} de même effectif (25\,\% -- 25\,\% -- 25\,\% -- 25\,\%)

\smallskip

Il se peut qu'il y ait un peu plus que 25\,\% des valeurs en-dessous de $Q_1$ mais en aucun cas il ne peut y en avoir moins ! (pareil avec les 75\,\% en-dessous de $Q_3$)
}

\espacepara

\illustr{
On en en fait la répartition suivante :
\begin{center}
	\psset{arrowscale=2,linewidth=1.25pt}
	\begin{pspicture*}(-1,-2.75)(11,0.75)
	 \psline(0,0)(10,0)
	 \psdots[dotsize=8pt,dotstyle=x](0,0)(10,0)
	 \psdot[linecolor=red,dotsize=8pt,dotstyle=x](4,0)
	 \psdots[linecolor=ForestGreen,dotsize=8pt,dotstyle=x](2.5,0)(8.5,0)
	 \uput[u](0,0){\point{min}}\uput[u](10,0){\point{max}}
	 \uput[u](2.5,0){\point{\textcolor{ForestGreen}{$Q_1$}}}
	 \uput[u](8.5,0){\point{\textcolor{ForestGreen}{$Q_3$}}}
	 \uput[u](4,0){\red \point{méd}}
	 \psline[linecolor=red]{<->}(0,-0.75)(4,-0.75)
	 \psline[linecolor=red]{<->}(4,-0.75)(10,-0.75)
	 \psline[linecolor=ForestGreen]{<->}(0,-1.5)(2.5,-1.5)
	 \psline[linecolor=ForestGreen]{<->}(2.5,-1.5)(4,-1.5)
	 \psline[linecolor=ForestGreen]{<->}(4,-1.5)(8.5,-1.5)
	 \psline[linecolor=ForestGreen]{<->}(8.5,-1.5)(10,-1.5)
	 \psline[linecolor=purple]{<->}(2.5,-2.25)(8.5,-2.25)
	 \uput[d](2,-0.7){\red \ppoint{$\approx 50\,\%$}}
	 \uput[d](7,-0.7){\red \ppoint{$\approx 50\,\%$}}
	 \uput[d](1.25,-1.45){\textcolor{ForestGreen}{\ppoint{$\approx 25\,\%$}}}
	 \uput[d](3.25,-1.45){\textcolor{ForestGreen}{\ppoint{$\approx 25\,\%$}}}
	 \uput[d](6.25,-1.45){\textcolor{ForestGreen}{\ppoint{$\approx 25\,\%$}}}
	 \uput[d](9.25,-1.45){\textcolor{ForestGreen}{\ppoint{$\approx 25\,\%$}}}
	 \uput[d](5.5,-2.2){\textcolor{purple}{\ppoint{$\approx 50\,\%$}}}
	\end{pspicture*}
\end{center}
Voilà pourquoi on parle de \textit{dispersion} : on note, grâce aux quartiles, la dispersion des valeurs de la série autour de la médiane

\smallskip

À noter que la définition des quartiles (avec les \og au-moins \fg{}) donne des parties d'environ 25\,\%
}

\espacepara

\methode{
Maintenant que les définitions sont posées, il reste à déterminer les quartiles, et pour cela il existe globalement deux méthodes suivant si :
\begin{itemize}
	\item la série est donnée de manière \og brute \fg{} ou par effectifs
	\item la série est donnée par classes 
\end{itemize}
Dans tous les cas il faut passer par les \textbf{ECC} !
}

\newpage

\exemple[ 1]{
On donne la série sous la forme :
\begin{center}
	\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
	\begin{tabularx}{10cm}{|l|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
		\hline
		Valeurs & 1,5 & 2,7 & 3,5 & 4,8 & 7 & 10,9 \\ \hline
		Effectifs & 7 & 10 & 4 & 5 & 6 & 3 \\ \hline
		ECC & 7 & 17 & 21 & 26 & 32 & 35 \\ \hline
	\end{tabularx}
\end{center}
Il ya a donc $N=35$ valeurs dans la série (le 1,5 est répété 7 fois, le 2,7 l'est 10 fois, etc)

\smallskip

$\bullet~~$on calcule 25\,\% de 35 pour avoir grosso-modo la position de $Q_1$

\tabu{}$\Rightarrow 0,25 \times 35=8,75$

\tabu{}$\Rightarrow$ on arrondit au-dessus pour être \textbf{sûr} d'avoir \textbf{au-moins} 25\,\% des valeurs en-dessous

\tabu{}$\Rightarrow$ $Q_1=9\ieme{}\text{ valeur}=2,7$ (le dernier 1,5 est en positon 7 et le dernier 2,7 est en position 17)

$\bullet~~$on calcule 75\,\% de 35 pour avoir grosso-modo la position de $Q_3$

\tabu{}$\Rightarrow 0,75 \times 35=26,25$

\tabu{}$\Rightarrow$ on arrondit au-dessus pour être \textbf{sûr} d'avoir \textbf{au-moins} 75\,\% des valeurs en-dessous

\tabu{}$\Rightarrow$ $Q_3=27\ieme{}\text{ valeur}=7$ (le dernier 4,8 est en positon 26 et donc 7 est en position 27)

$\bullet~~$on calcule l'écart interquartile grâce à $Q_3-Q_1=7-2,7=4,3$
}

\espacepara

\exemple[ 2]{
On donne : 
\begin{center}
	\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
	\begin{tabularx}{13cm}{|l|Y|Y|Y|Y|}
		\hline
		\textbf{Valeurs} & $]20\,;\,40[$ & $[40\,;\,80[$ & $[80\,;\,100[$ & $[100\,;\,200]$ \\ \hline
		\textbf{Effectif} & 350 & 320 & 210 & 120 \\ \hline
		\textbf{ECC} & 350 & 670 & 880 & 1000 \\ \hline
	\end{tabularx}
\end{center}
On obtient la courbe des ECC à l'aide des points $\coordpl{20}{0}$, $\coordpl{40}{350}$, $\coordpl{80}{670}$, $\coordpl{100}{880}$ et $\coordpl{120}{1000}$
\begin{center}
	\psset{linewidth=1.25pt,xunit=0.05cm,yunit=0.0075cm,ticksize=1pt}
	\begin{pspicture}(0,-100)(210,1100)
		\multido{\n=0+20}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=orange,linestyle=dashed](\n,0)(\n,1100)}
		\multido{\n=0+100}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=orange,linestyle=dashed](0,\n)(210,\n)}
		\psaxes[Dx=20,Dy=100]{->}(0,0)(210,1100)
		\psline[linecolor=red](20,0)(40,350)(80,670)(100,880)(200,1000)
		\psdots[linecolor=blue,dotsize=4pt](20,0)(40,350)(80,670)(100,880)(200,1000)
		\psline[linecolor=purple,linestyle=dashed](0,750)(87.62,750)(87.62,0)
		\psline[linecolor=purple,linestyle=dashed](0,250)(34.29,250)(34.29,0)
		\uput[ur](87.62,0){\textcolor{purple}{\ppoint{$Q_3$}}}
		\uput[ur](34.29,0){\textcolor{purple}{\ppoint{$Q_1$}}}
	\end{pspicture}
\end{center}
Il s'agit donc, par lecture graphique, de :
\begin{itemize}
	\item tracer une droite horizontale de hauteur $0,25 \times 1000 = 250$ et de lire $Q_1 \approx 88$
	\item tracer une droite horizontale de hauteur $0,75 \times 1000 = 750$ et de lire $Q_3 \approx 35$
	\item déterminer l'écart interquartile $Q_3-Q_1 = 88 - 35 = 53$
\end{itemize}
}


\end{document}