\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
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\newcommand{\nomfichier}{[2GT.TD10] Le principe du levier}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
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\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre le ...}}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Février 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{TD10 - Le principe du levier}

\begin{center}
\includegraphics{graphics/dm09_levier}
\end{center}

On considère une tige $[AB]$ posée sur un support avec un unique point de contact $O$. L'ensemble constitue un \textbf{levier}.

Aux extrémités $A$ et $B$ de la tige sont disposées deux masses $m$ et $m'$ (avec $m$ et $m'$ positifs).

\smallskip

En considérant que la tige a une masse répartie de façon homogène, le levier est en équilibre lorsque : \[ m\vect{OA}+m' \vect{OB}=\vect{0}. \]

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la relation de Chasles, exprimer $\vect{OB}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{OA}$.
		\item Démontrer qu'on a la relation : \[ \vect{AO}=\dfrac{m'}{m+m'}\,\vect{AB}. \]
	\end{enumerate}
	\item En déduire :
	\begin{enumerate}
		\item la position du point $O$ sur la tige $[AB]$ lorsque $m=m'$ ;
		\item une représentation, en utilisant le schéma suivant, à l'échelle de la position d'équilibre lorsque $m=7$~kg et $m'=2$~kg.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[>=latex]
			\draw[-] (0,0) --(9,0);
			\foreach \xp in {0,1,...,9}{\node[] at (\xp,0) {|};}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\item une représentation, en s'inspirant de la méthode précédente, à l'échelle de la position d'équilibre lorsque $m=13$~kg et $m'=3$~kg.
	\end{enumerate}
	\item On considère le levier suivant avec $\vect{OB}=5\vect{AO}$ et  $m=200$~kg.
	\begin{center}
		\includegraphics[height=5cm]{graphics/dm09_levier_02}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $\vekt{AO}$ en fonction de $\vekt{AB}$.
		\item En déduire la masse $m'$ qu'on doit disposer en B de façon à ce que le levier parvienne à l'équilibre.
	\end{enumerate}
	\item On dispose une masse de 2\,100~kg placée en A à 10~cm du pivot O.
	
	On s'intéresse à la position d'équilibre lorsqu'une masse de 70~kg est placée en B.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $\vect{AO}$ et fonction de $\vect{AB}$.
		\item En déduire la longueur du levier pour atteindre l'équilibre.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\end{document}