\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\usepackage{cp-sujet}
\newcommand{\nomfichier}{[2GT.DM02] Fonction et geometrie - Correction}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
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%	/Title (\nomfichier)}
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\renewcommand{\i}{\text{i}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Octobre 2017}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Correction du DM02}

\titrexo{Première partie - Un cas particulier}

\begin{enumerate}
	\item La figure est la suivante :
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\draw[line width=1pt] (0,0) rectangle (6,6);
		\draw (0,0) node[below left] {$D$} ;
		\draw (6,0) node[below right] {$C$} ;
		\draw (0,6) node[above left] {$A$} ;
		\draw (6,6) node[above right] {$B$};
		\draw[black,fill=blue!50] (0,0) -- (6,4) -- (2,6) -- cycle;
		\draw (2,6) node[above right] {$M$} ;
		\draw (6,4) node[below right] {$N$} ;
		\draw[<->,line width=1pt,red] (0,-0.25) -- (6,-0.25) node[below,midway] {\red 6~cm};
		\draw[<->,line width=1pt,red] (0,6.25) -- (2,6.25) node[above,midway] {\red 2~cm};
		\draw[<->,line width=1pt,red] (6.25,6) -- (6.25,4) node[right,midway] {\red 2~cm};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\item On a (les triangles étant rectangles) $\mathcallig{A}_{AMD}=\dfrac{6 \times 2}{2}=6$~cm$^2$ puis $\mathcallig{A}_{MBN}=\dfrac{4 \times 2}{2}=4$~cm$^2$ et $\mathcallig{A}_{DCN}=\dfrac{6 \times 4}{2}=12$~cm$^2$
	\item On déduit $\mathcallig{A}_{MND}=\mathcallig{A}_{ABCD}-\mathcallig{A}_{AMD}-\mathcallig{A}_{MBN}-\mathcallig{A}_{DCN}=36-6-4-12=14$~cm$^2$
\end{enumerate}

\medskip

\titrexo{Deuxième partie - Cas général}


\begin{enumerate}
	\item Le plus petit intervalle dans lequel varie $x$ est $\intervFF{0}{6}$
	\item On a directement $CN=BC-BN=6-x$ 
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $\mathcallig{A}_{CDN}=\dfrac{DC \times CN}{2}=\dfrac{6 \times (6-x)}{2}=\dfrac{36-6x}{2}=18-3x$
		\item De même on a $\mathcallig{A}_{AMD}=\dfrac{AM \times AD}{2}=\dfrac{x \times 6}{2}=\dfrac{6x}{2}=3x$
		
		Et pour finir $\mathcallig{A}_{MBN}=\dfrac{MB \times BN}{2}=\dfrac{(6-x) \times x}{2}=\dfrac{6x-x^2}{2}=3x-\dfrac12 x^2=3x-0,5x^2$
		\item De ce fait, on déduit $\mathcallig{A}_{MND}=\mathcallig{A}_{ABCD}-\mathcallig{A}_{AMD}-\mathcallig{A}_{MBN}-\mathcallig{A}_{DCN}=36-3x-(-0,5x^2+3x)-(-3x+18)$
		
		Soit encore $\mathcallig{A}_{MND}=36-\cancel{3x}+0,5x^2-3x+\cancel{3x}-18=0,5x^2-3x+18$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\titrexo{Troisième partie - Étude (graphique) de l'aire de MND}

\begin{enumerate}
	\item On obtient le tableau suivant (en utilisant par exemple la flèche de stockage sur la calculatrice) :
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{13}{Y|}}
		\hline
		$x$ & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 & 3 & 3,5 & 4 & 4,5 & 5 & 5,5 & 6 \\ \hline
		$f(x)$ & 18 & 16,6 & 15,5 & 14,6 & 14 & 13,6 & 13,5 & 13,6 & 14 & 14,6 & 15,5 & 16,6 & 18 \\ \hline
	\end{tabularx}
	\item On trace la courbe (voir feuille suivante) sur $\intervFF{0}{6}$ en ayant remarqué qu'en ordonnée il faut pouvoir \og aller \fg{} jusque 18
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On cherche à résoudre graphiquement $f(x)=15$, qui admet exactement deux solutions, $\mathcallig{S} \approx \left\lbrace 1,2 \,;\, 4,7 \right\rbrace$
		\item On cherche à résoudre graphiquement $f(x)=17$ et on trouve deux solutions
		
		Ainsi il existe deux positions du point M sur $[AB]$ telle que l'aire de MND soit de 17~cm$^2$ 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
	\psset{algebraic=true,xunit=2cm,yunit=1cm}
	\begin{pspicture}(0,0)(7.1,19)
		\multido{\n=0+2}{10}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray](0,\n)(7,\n)}
		\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,19)}
		\psaxes[Dx=1,Dy=2,linewidth=1pt]{->}(0,0)(7,19)
		\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,plotpoints=800]{0}{6}{0.5 * x^2 - 3*x +18}
		\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=purple,linestyle=dashed](0,15)(6,15)
		\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=purple,linestyle=dashed](1.2679,15)(1.2679,0)
		\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=purple,linestyle=dashed](4.732,0)(4.732,15)
		\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=ForestGreen,linestyle=dashed](0,17)(6,17)
		\psdots[dotscale=2,linecolor=purple](1.2679,15)(4.732,15)
		\psdots[dotscale=2,linecolor=ForestGreen](0.3542,17)(5.6457,17)
		\uput[d](4,13.8){\textcolor{blue}{$\courbe{f}$}}
		\uput[r](6,15){\textcolor{purple}{$y=15$}}
		\uput[r](6,17){\textcolor{ForestGreen}{$y=17$}}
	\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}