\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
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\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
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\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre le ...}}}
\usepackage{lastpage}

\begin{document}

%\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{Lycée Edmé Bouchardon}}
\chead{\entete{Mai 2018}}
\rhead{\entete{Classes de 2GT}}
\lfoot{}
\cfoot{}
\rfoot{\pied{Page \thepage{} sur \pageref*{LastPage}}}

\hfill{}\textbf{{\LARGE \textsc{Correction du Devoir Commun de Mathématiques}}}\hfill{}

\bigskip

\titrexo{Exercice 1}\strut\lignetitre %exo1

\medskip

\begin{enumerate}
	\item L'ensemble des nombres réels $x$ tels que $-4 < x \pp 5$ est noté $\intervOF{-4}{5}$ (inégalité stricte : crochet ouvert)
	
	\hfill{}La bonne réponse est donc la réponse \textbf{B.}
	\item Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donné par $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{11-3}{3-(-1)}=\dfrac{8}{4}=2$
	
	\hfill{}La bonne réponse est donc la réponse \textbf{D.}
	\item On a $\vect{BE}-\vect{KE}+\vect{LB}=\vect{BE}+\vect{EK}+\vect{LB}=\vect{LB}+\vect{BE}+\vect{EK}=\vect{LK}$ (relation de Chasles)
	
	\hfill{}La bonne réponse est donc la réponse \textbf{B.}
	\item Si $x=180$, alors on rentre dans la partie \textbf{Sinon}, et donc $y=0,5 \times 180+19=90+19=109$
	\begin{center}
		\fbox{\includegraphics[width=5.5cm]{graphics/dsc_exo1_a}}~~\fbox{\includegraphics[width=5.5cm]{graphics/dsc_exo1_b}}
	\end{center}
	\hfill{}La bonne réponse est donc la réponse \textbf{D.}
	\item D'après le résultat sur les évènements contraires, on a $P(A)+P(\overline{A})=1$
	
	\hfill{}La bonne réponse est donc la réponse \textbf{C.}
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Exercice 2}\strut\lignetitre %exo2

\medskip

\begin{enumerate}
	\item On complète le tableau :
	\begin{center}
		\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
		\begin{tabular}{|M{3cm}|M{3cm}|M{3cm}|M{3cm}|}
			\cline{2-4}
			\multicolumn{1}{c|}{} & Avants & Arrières &  Total \\ \hline
			+100~kg & 15 & 3 & 18 \\ \hline
			-100~kg & 6 & 11 & 17 \\ \hline
			Total & 21 & 14 & 35 \\ \hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	\item Le tableau d'effectifs nous donne :
	\begin{enumerate}
		\item $P(A)=\dfrac{\text{nombre d'avants}}{\text{nombre de joueurs}}=\dfrac{21}{35}=0,6$
		\item $P(D)=\dfrac{\text{nombre de -100~kg}}{\text{nombre de joueurs}}=\dfrac{17}{35} \approx 0,49$
		\item $P(C)=\dfrac{\text{nombre d'avants de +100~kg}}{\text{nombre de joueurs}}=\dfrac{15}{35} \approx 0,43$
	\end{enumerate}
	\item $A \cup B$ est l'évènement \og le joueur est un avant \textbf{ou} il pèse plus de 100~kg \fg
	
	Sa probabilité est $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=\dfrac{21}{35} + \dfrac{18}{35}-\dfrac{15}{35}=\dfrac{24}{35} \approx 0,69$
	
	NB : on pouvait également \og calculer \fg{} $P(A \cup B)=\dfrac{15+6+3}{35}$
	\item Parmi les 21 avants, 15 pèsent plus de 100~kg, donc la probabilité est $p_1=\dfrac{15}{21} \approx 0,71$
	\item Parmi les 18 joueurs de plus de 100 kg, 15 sont des avants, donc $p_2=\dfrac{15}{18} \approx 0,83$
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Exercice 3}\strut\lignetitre %exo3

\bigskip

\textbf{{\large Partie A : Lectures graphiques}}

\begin{center}
	\psset{xunit=1.5cm,yunit=3.5cm,algebraic=true,tickwidth=1pt}
	\defgrille{-1}{8}{1}{0.5}{-0.6}{1.2}{0.1}{0.1}
	\begin{pspicture}(-1,-0.6)(8,1.2)
	\grilles{linewidth=0.4pt,linecolor=gray}
	\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
	\psaxes[comma,linewidth=1.25pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(-1,-0.6)(8,1.2)
	\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=ForestGreen]{0}{7}{-0.1*x^2+0.6*x+0.189}
	\uput[dl](0,0){0}
	\rput(7.3,-0.49){\textcolor{ForestGreen}{\Large $\courbe{h}$}}
	\psdot[dotscale=1.5,linecolor=red](6.3,0)
	\psdot[dotscale=1.5,linecolor=blue](3,1.089)
	\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,linecolor=purple](0,0.9)(7,0.9)
	\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item On lit l'abscisse du point d'intersection de $\courbe{h}$ avec l'axe des abscisses
	
	\tabu{}La balle devrait retomber au sol à une distance d'environ 6,25~m 
	\item Le tableau de variations de $h$ s'obtient en \og suivant les flèches \fg{} :
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[deltacl=0.7]{$x$/1,$h$/2}{$0$,$3$,$7$}
			\tkzTabVar{-/${0,2}$,+/${1,1}$,-/${-0,5}$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	Le tableau de signes de $h(x)$ s'obtient en \og notant la position de $\courbe{h}$ par rapport à l'axe des abscisses \fg{} :
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit{$x$/1,$h(x)$/1}{$0$,${6,25}$,$7$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\item La hauteur maximale de la balle s'obtient en trouvant le point le plus haut de $\courbe{h}$
	
	\tabu{}La balle atteint une hauteur maximale de 1,1~m environ
	\item Pour déterminer l'intervalle sur lequel la balle est à une hauteur supérieure ou égale à 90~cm, on trace la droite (horizontale) d'équation $y=0,9$ et on lit les abscisses des points de $\courbe{h}$ situés au-dessus de cette droite :
	
	\tabu{}On lit que c'est sur l'intervalle $\intervFF{1,6}{4,4}$
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{{\large Partie B : Différentes formes de la fonction \boldmath $h$ \unboldmath}}

\begin{enumerate}
	\item On développe $(-0,1x-0,03)(x-6,3)$ :
	
	$(-0,1x-0,03)(x-6,3)=-0,1x^2+0,63x-0,03x+0,189=-0,1x^2+0,6x+0,189=h(x)$ qui est le résultat voulu
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On calcule $h(0)=-0,1 \times 0^2+0,6 \times0+0,189=0,189$
		
		\tabu{}Lorsque le joueur A tente va volée amortie, la balle est à une hauteur de 0,189~m
		\item On calcule $h(4)=-0,1 \times 4^2+0,6 \times4+0,189=0,989$ ; or $0,989 > 0,95$
		
		\tabu{}On peut donc affirmer que la balle a franchi le filet
		\item On a $h(x)=0 \ssi (-0,1x-0,03)(x-6,3)=0 \ssi \begin{dcases} -0,1x-0,03=0 \\ \text{ou} \\ x-6,3=0 \end{dcases} \ssi \begin{dcases} x=-0,3 \\ \text{ou} \\ x=6,3 \end{dcases}$
		
		\tabu{}$x$ étant positif, on en déduit que la balle retombera au sol à une distance de 6,3~m
		\item $h(x)=0,189 \ssi -0,1x^2+0,6x+0,189=0,189 \ssi -0,1x^2+0,6x=0$
		
		$\phantom{h(x)=0,189} \ssi x(-0,1x+0,6)=0 \ssi \begin{dcases} x=0 \\ \text{ou} \\ -0,1x+0,6=0 \end{dcases} \ssi \begin{dcases} x=0 \\ \text{ou} \\ x=6 \end{dcases}$
		
		\tabu{}Ainsi la balle est à une hauteur de 0,189~m pour $x=0$ ou $x=6$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Exercice 4}\strut\lignetitre %exo4

\smallskip

\begin{center}
	\psset{unit=0.75cm,tickwidth=1pt,xlabelsep=3pt,ylabelsep=3pt}
	\defgrille{-5.5}{5.5}{1}{0.5}{-5}{6}{1}{0.5}
	\begin{pspicture}(-5.5,-5)(5.5,6)
		\grilles{linewidth=0.4pt,linecolor=orange}
		\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5.5,-5)(5.5,6)
		\pspolygon[linewidth=1.25pt,linecolor=purple](-2,-2)(0,-3)(2,1)(0,2)
		\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=purple](-2,-2)(2,1)
		\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=purple](0,2)(0,-3)
		\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=gray](-3,3.5)(0,2)
		\psdots[dotscale=1.25](1,0)(0,1)
		\uput[u](1,0){\point{I}}\uput[r](0,1){\point{J}}\uput[dl](0,0){{\scriptsize 0}}
		\psdots[linecolor=blue,dotscale=1.25](-2,-2)(0,-3)(2,1)(0,2)(0,-0.5)(-3,3.5)
		\uput[dr](0,-3){\blue \point{B}}\uput[l](-2,-2){\blue \point{A}}
		\uput[r](2,1){\blue \point{C}}\uput[ur](0,2){\blue \point{D}}
		\uput[u](-3,3.5){\blue \point{G}}\uput[dr](0,-0.5){\blue \point{E}}
	\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item On place les points $A \coordpl{-2}{-2}$, $B\coordpl{0}{-3}$, $C \coordpl{2}{1}$ et $D \coordpl{0}{2}$ sur le graphique
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $\vect{AD} \coordeux{x_D-x_A=0-(-2)=2}{y_D-y_A=2-(-2)=4}$ et $\vect{BC} \coordeux{x_C-x_B=2-0=2}{y_C-y_B=1-(-3)=4}$
		\item On peut déjà noter que $\vect{AD}=\vect{BC}$, ce qui signifie que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme
	\end{enumerate}
	\item Le point E, intersection des diagonales de ABCD, est donc le milieu de $[AC]$
	
	De ce fait on a $x_E=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{-2+2}{2}=0$ et $y_E=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{-2+1}{2}=-0,5$
	
	Ainsi $E \coordpl{0}{-0,5}$ qui est placé sur le graphique
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item $AC=\sqrt{ \left(x_C-x_A\right)^2+\left(x_C-x_A\right)^2}=\sqrt{(2-(-2))^2+(1-(-2))^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$
		\item ABCD étant un parallélogramme, il suffit (par exemple) de montrer que ses diagonales sont de même longueur pour affirmer que c'est un rectangle :
		
		\tabu{}$ \bullet~~AC=5$
		
		\tabu{}$ \bullet~~BD=\sqrt{(0-0)^2+(2-(-3))^2}=\sqrt{0^2+5^2}=\sqrt{25}=5$
		
		Ainsi le quadrilatère ABCD est bien un rectangle
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le point G est placé et $\vect{GC} \coordeux{x_C-x_G=2-(-3)=5}{y_C-y_G=1-3,5=-2,5}$
		\item On a $\vect{GC} \coordeux{5}{-2,5}$ et $\vect{GD} \coordeux{x_D-x_G=0-(-3)=3}{y_D-y_G=2-3,5=-1,5}$
		
		$\left. \begin{array}{r} 5 \times -1,5=-7,5 \\ -2,5 \times 3=-7,5 \end{array} \right| \Rightarrow$ les vecteurs $\vect{GC}$ et $\vect{GD}$ sont colinéaires
		\item Les vecteurs $\vect{GC}$ et $\vect{GD}$ étant colinéaires (et ayant un point en commun), on en déduit que les points G, C et D sont alignés
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Exercice 5}\strut\lignetitre %exo5

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item La population étudiée est une classe de seconde, et le caractère étudié est les notes à un DS (quantitatif)
	\item On complète le tableau (série ordonnée):
	\begin{center}
		\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
		\begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|l|*{10}{Y|}}
			\hline
			Note & 3 & 4 & 5 & 6 & 8 & 9 & 10 & 13 & 15 & 18 \\ \hline
			Effectifs & 1 & 1 & 3 & 2 & 5 & 6 & 2 & 8 & 6 & 2 \\ \hline
			Effectifs Cumulés Croissants &1&2&5&7&12&18&20&18&34&36 \\ \hline									
		\end{tabularx}
	\end{center}
	\begin{center}
		{\includegraphics[width=5.5cm]{graphics/dsc_exo5_a}}~~{\includegraphics[width=5.5cm]{graphics/dsc_exo5_b}}~~{\includegraphics[width=5.5cm]{graphics/dsc_exo5_c}}
	\end{center}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'effectif total est ici $N=36$ qui est pair, et $N/2=18$
		
		$\left. \begin{array}{r} 18\text{\up{e} valeur}=\phantom{1}9 \\ 19\text{\up{e} valeur}=10 \end{array} \right| \Rightarrow \text{méd}=\dfrac{9+10}{2}=9,5$
		\item On a toujours $N=36$, donc $N/4=9$ ce qui fait que $Q1$ est la 9\up{e} valeur, soit un 8
		\item On compte le nombre d'élèves ayant 8 ou plus, soit $5+6+2+8+6+2=29$ ce qui donne une proportion de $\tfrac{29}{36} \approx 80,9$\,\%
		
		Donc il est exact d'affirmer que plus de 50\,\% des élèves a eu 8 ou plus
		
		NB : on pouvait également se baser sur $\text{méd}=9,5$ (50\,\% des valeurs au-dessus de 9,5) 
		\item On compte que 5 ($1+1+3$) élèves ont eu 5 ou moins, ce qui correspond à un pourcentage de $\tfrac{5}{36} \approx 14$\,\%
		\item Le paramètre $Q1$ (ici 8, qui partage en 25\,\%/75\,\% la série) permet d'affirmer que 75\,\% des élèves dépassent la note de 8
	\end{enumerate}
	\item On cherche $\bar{x}=\dfrac{3\times1+4\times1+\dots+18\times2}{36}=10,5$ donc la moyenne à ce devoir est de 10,5
	\item On note $x_f$ la moyenne de 24 filles, on cherche donc à résoudre $\dfrac{24x_f+12\times9,5}{36}=10,5$
	
	$\dfrac{24x_f+12\times9,5}{36}=10,5 \ssi 24x_f+114=36 \times 10,5 \ssi x_f=\dfrac{378-14}{24}=11$
	
	La moyenne des filles est donc de 11/20
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Exercice 6}\strut\lignetitre %exo6

\begin{center}
	\psset{unit=0.6cm,tickwidth=1pt,xlabelsep=3pt,ylabelsep=3pt,algebraic=true}
	\defgrille{-5}{8}{1}{0.5}{-3}{6}{1}{0.5}
	\begin{pspicture}(-5,-3)(8,6)
		%\grilles{linewidth=0.4pt,linecolor=gray}
		\grillep{linewidth=0.5pt,linecolor=gray}
		\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-3)(8,6)
		\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=red,showpoints=true](-4,5)(-2,1)(1,4)(4,0)(5.5,-2)(7,0)
		\rput(2.65,3.5){\red \large $C_f$}
		\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{8}{0.5*x-1}
		\rput(6.5,3){\blue \large $D$}
	\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le domaine de définition de $f$ est $D_f=\intervFF{-4}{7}$ (ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe est \og tracée \fg)
		\item L'image de $-2$ par $f$ est : 1 (hauteur de la courbe pour $x=-2$)  
		\item 0 a pour antécédent(s) : 4 et 7 (valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe coupe l'axe des abscisses)
		\item Le nombre $-3$ n’a pas d‘antécédent par $f$ (tout comme 6, ou 7 ou $-2,5$ etc)
		\item $f(2)\approx3,5$ (hauteur de la courbe pour $x=2$)  
		\item $f(-4) = 5$ (seule valeur de $x$ pour laquelle $f(x)=5$)
		\item Le minimum de $f$ sur $[-4\,;\,7]$ est -2 (point le plus bas) et il est atteint en $x=5,5$ 
		\item Le maximum de $f$ sur $[-4\,;\, 7]$ est 5 (point le plus haut) et il est atteint en $x=-4$
		\item $M(1\,;\,4) \in C_f$ ou $M({-3,75}\,;\,4) \in C_f$
		\item Graphiquement :
		\begin{multicols}{2}
			$\bullet~~f(x)=4$ : $\textit{S}=\left\lbrace 1\,;\,-3,75 \right\rbrace$
			
			$\bullet~~f(x)<0$ : $\textit{S}=\intervOO{4}{7}$
						
			$\bullet~~f(x)=-3$ : $\textit{S}=\varnothing$
						
			$\bullet~~f(x) \pg 2$ : $\textit{S}=\intervFF{-4}{-3,1} \cup \intervFF{-0,8}{3}$
			
			\medskip
		\end{multicols}
		\item On lit :
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1.5]{$x$/0.8,$f$/1.8}{$-4$,$-2$,$1$,${5,5}$,$7$}
				\tkzTabVar{+/$5$,-/$1$,+/$4$,-/$-2$,+/$0$}
			\end{tikzpicture}%
			~~%
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1.75]{$x$/0.8,$f(x)$/1.8}{$-4$,$4$,$7$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,z}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\item On trace la droite $(D)$ d'équation $y=\dfrac12x-1$ avec $p=-1$ puis $m=\dfrac{1}{2}=\dfrac{DV}{DH}$
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On calcule $P(-2)=(-2-5)(-2+3)=-7 \times 1=-7$ et $P(7)=(7-5)(7+3)=2 \times 10=20$
		\item Pour déterminer les antécédents de 0 par la fonction $P(x)$, on résout $P(x)=0$ :
		
		$P(x)=0 \ssi \begin{dcases} x-5=0 \\ \text{ou} \\ x+3=0 \end{dcases} \ssi \begin{dcases} x=5 \\ \text{ou} \\ x=-3 \end{dcases}$
		
		Donc 5 et $-3$ sont les antécédents de 0 par $P$
		\item $P(x)$ se présente comme un produit, on peut donc faire un tableau de signes :
		
		\tabu{}$\bullet~~x-5=0 \ssi x=5$ et $a=1$ donc signe $\ominus\oplus$
		
		\tabu{}$\bullet~~x+3=0 \ssi x=-3$ et $a=1$ donc signe $\ominus\oplus$
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit{$x$/1,$x-5$/1,$x+3$/1,$P(x)$/1}{$-\infty$,${-3}$,$5$,$+\infty$}
				\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
				\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
				\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		\item On a $Q(x)=4x-x^2=4x-x \times x=x(4-x)$ qui est un produit, donc on peut faire un tableau de signes :
		
		\tabu{}$\bullet~~x=0 \ssi x=0 !$ et $a=1$ donc signe $\ominus\oplus$
		
		\tabu{}$\bullet~~4-x=0 \ssi x=4$ et $a=-1$ donc signe $\ominus\oplus$
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/1,$x$/1,$4-x$/1,$Q(x)$/1}{$-\infty$,$0$,$4$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
			\tkzTabLine{,+,t,+,z,-,}
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}