\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
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\newcommand{\nomfichier}{[2GT.DSCOMMUN]}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
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\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre le ...}}}
\usepackage{lastpage}

\begin{document}

\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\pagestyle{fancy}
%\lhead{\entete{Lycée Edmé Bouchardon}}
%\chead{\entete{Vendredi 18 Mai 2018}}
%\rhead{\entete{Classes de 2GT}}
\lfoot{\pied{Lycée Edmé Bouchardon}}
\cfoot{\pied{Vendredi 18 Mai 2018}}
\rfoot{\pied{Page \thepage{} sur \pageref*{LastPage}}}

\textbf{{\LARGE \textsc{2GT - Devoir Commun de Mathématiques}}}

\medskip

\hfill{}\textbf{{\large \textsc{Numéro de Candidat : \pointille[3cm]}}}

\medskip

\emph{Calculatrice personnelle autorisée (pas en mode examen) ; échange de matériel interdit.}

\medskip

%\begin{tabular}{M{0.55\linewidth}m{0.5\linewidth}}
%	\multirow{5}{*}{\includegraphics[width=0.75\linewidth]{graphics/lycee_bouchardon}} & {\small \textbf{Lycée Edmé Bouchardon}} \\
%	& {\small \textbf{Année scolaire : 2017/2018}} \\
%	& {\small \textbf{Vendredi 18 Mai 2018}} \\
%	& {\small \textbf{Classe : Seconde}} \\
%	& \\
%	& \textbf{Numéro de candidat : \dots\dots\dots\dots} \\
%\end{tabular}
%\hrule
%\begin{center}
%	\textbf{{\Large \red Devoir Commun de Mathématiques}}
%\end{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|M{0.17\linewidth}|Y|}
%	\hline
%	{\small \textbf{Note}} & {\small \textbf{Remarques}} \\ \hline
%	& \\
%	& \\
%	& \\
%	& \\
%	& \\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\bigskip

\titrexo{Exercice 1 (5 points)}\strut\lignetitre %exo1

\bigskip

{\footnotesize \textit{Cet exercice est un QCM. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}}

\begin{enumerate}
	\item L'ensemble des nombres réels $x$ tels que $-4 < x \pp 5$ est noté :
	\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}
		\hline
		\textbf{A.~~}$\intervFF{-4}{5}$ & \textbf{B.~~}$\intervOF{-4}{5}$ & \textbf{C.~~}$\intervFO{-4}{5}$ & \textbf{D.~~}$\intervOO{-4}{5}$ \\ \hline
	\end{tabularx}
	\item Dans un repère, on donne $A \coordpl{-1}{3}$, $B\coordpl{3}{11}$, le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}
		\hline
		\textbf{A.~~}$\tfrac{1}{2}$ & \textbf{B.~~}$-\tfrac{1}{2}$ & \textbf{C.~~}$-2$ & \textbf{D.~~}$2$ \\ \hline
	\end{tabularx}
	\item Soient B, E, K et L quatre points du plan. On a $\vect{BE}-\vect{KE}+\vect{LB}=$
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}
		\hline
		\textbf{A.~~}$\vect{LE}$ & \textbf{B.~~}$\vect{LK}$ & \textbf{C.~~}$\vect{BK}$ & \textbf{D.~~}$\vect{KL}$ \\ \hline
	\end{tabularx}
	\item On considère l'algorithme :
	
	\tabu{}\textbf{Si} $x \pp 76$ \textbf{alors}
	
	\tabu{}\tabu{}\tabu{}$y\leftarrow 0,75x$
	
	\tabu{}\textbf{Sinon}
	
	\tabu{}\tabu{}\tabu{}$y \leftarrow 0,5x+19$
	
	Que contient la variable $y$ à la fin de cet algorithme si $x$ contient la valeur  180 ?
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}
		\hline
		\textbf{A.~~}$180$ & \textbf{B.~~}$0$ & \textbf{C.~~}$135$ & \textbf{D.~~}$109$ \\ \hline
	\end{tabularx}
	\item Soient A un évènement et $\overline{A}$ son contraire. Alors la somme de leurs probabilités vaut :
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}
	 	\hline
	 	\textbf{A.~~}$-1$ & \textbf{B.~~}$0$ & \textbf{C.~~}$1$ & \textbf{D.~~}On ne sait pas \\ \hline
	\end{tabularx}
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Exercice 2 (8 points)}\strut\lignetitre %exo2

\bigskip

Dans une équipe de rugby, il y a un effectif de 35 joueurs sous contrat : 21 avants et 14 arrières. 15 avants pèsent plus de 100 kg, alors que c’est le cas de seulement 3 arrières. On appelle :
\begin{itemize}
	\item A l’évènement : \og le joueur est un avant \fg{} ;
	\item B l’évènement : \og le joueur pèse plus de 100 kg \fg{}.
\end{itemize}
{\footnotesize \textit{Dans tout l'exercice, les résultats demandés seront, si besoin, arrondis à $0,01$.}}
\begin{enumerate}
	\item Compléter le tableau suivant :
	\begin{center}
		\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
		\begin{tabular}{|M{3cm}|M{3cm}|M{3cm}|M{3cm}|}
			\cline{2-4}
			\multicolumn{1}{c|}{} & Avants & Arrières &  Total \\ \hline
			+100~kg & & & \\ \hline
			$-$100~kg & & & \\ \hline
			Total & & & 35 \\ \hline
		\end{tabular}
	\end{center}

	\newpage
	\item On sélectionne un joueur au hasard. Déterminer la probabilité de :
	\begin{enumerate}
		\item l'évènement A ;
		\item l'évènement D : \og Le joueur pèse moins de 100 kg \fg{} ;
		\item l'évènement C : \og Le joueur est un avant de plus de 100 kg{}.
	\end{enumerate}
	\item Décrire l'évènement $A \cup B$ par une phrase puis déterminer sa probabilité.
	\item On sélectionne un avant au hasard, déterminer la probabilité qu’il pèse plus de 100 kg.
	\item On sélectionne un joueur de plus de 100 kg au hasard, déterminer la probabilité que ce soit un avant.	
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Exercice 3 (10 points)}\strut\lignetitre %exo3

\bigskip

Deux joueurs A et B s’affrontent sur un cours de tennis. Sur un coup de son adversaire, le joueur A reprend la balle près du sol et tente une \og volée amortie \fg{}.

On considère que la balle suit alors une trajectoire qu’on peut modéliser par la courbe suivante.

\begin{center}
	\includegraphics[width=0.66\linewidth]{graphics/dscommun_tennis}
\end{center}


Plus précisément, on considère que la hauteur de la balle en mètres, en fonction du nombre $x$ de mètres parcourus au sol, est donnée (à partir de $x = 0$ et tant que la balle ne retombe pas au sol) par la fonction $h$ définie par : $$h(x) = - 0,1x^2+ 0,6x + 0,189.$$
{\footnotesize (Dans tout l'exercice, on négligera le rayon de la balle)}
\medskip

\textbf{{\large Partie A : Lectures graphiques}}

\medskip

On a tracé, dans le plan rapporté à un repère orthogonal $\Rij$, la représentation graphique de la fonction $h$ sur l’intervalle $\intervFF{0}{7}$.
\begin{center}
	\psset{xunit=1.5cm,yunit=3.5cm,algebraic=true,tickwidth=1pt}
	\defgrille{-1}{8}{1}{0.5}{-0.6}{1.2}{0.1}{0.1}
	\begin{pspicture}(-1,-0.6)(8,1.2)
	\grilles{linewidth=0.4pt,linecolor=gray}
	\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
	\psaxes[comma,linewidth=1.25pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(-1,-0.6)(8,1.2)
	\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=ForestGreen]{0}{7}{-0.1*x^2+0.6*x+0.189}
	\uput[dl](0,0){0}
	\rput(7.3,-0.49){\textcolor{ForestGreen}{\Large $\courbe{h}$}}
	\end{pspicture}
\end{center}
Répondre aux questions suivantes par lecture graphique :
\begin{enumerate}
	\item À quelle distance de l’endroit où elle est frappée la balle devrait retomber au sol ?
	\item Dresser le tableau de variations ainsi que le tableau de signes de la fonction $h$ sur $\intervFF{0}{7}$.
	\item Quelle sera la hauteur maximale atteinte par la balle ?
	\item Déterminer l'intervalle sur lequel la balle est à une hauteur supérieure ou égale à 90~cm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large Partie B : Différentes formes de la fonction \boldmath $h$ \unboldmath}}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Montrer que $h$ peut se mettre sous la forme $h(x) = (- 0,1x -0,03)(x - 6,3)$.
%	\begin{enumerate}
%		\item Montrer que $h$ peut se mettre sous la forme $h(x) = - 0,1(x - 3)^2 + 1,089$.
%		
		\smallskip
		
		{\small \textit{On dispose désormais de deux formes différentes pour la fonction $h$.}}
%	\end{enumerate}
	\item En utilisant pour chaque question la forme de $h$ qui vous paraît la plus adaptée, répondre aux questions suivantes par calculs (elles sont indépendantes et peuvent être traitées dans n’importe quel ordre) :
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la hauteur $h(0)$ de la balle lorsque le joueur A la reprend pour tenter sa volée amortie ?
		\item La balle suit une trajectoire telle qu’elle passera, ou ne passera pas, le filet quatre mètres après son point de départ. Sachant que la hauteur du filet est à cet endroit de 95~cm, déterminer si la balle passera le filet.
		\item On suppose ici que la balle a franchi le filet, déterminer la distance $x$ pour laquelle elle retombera au sol.
		\item Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles la hauteur de la balle est de 0,189~m.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Exercice 4 (10 points)}\strut\lignetitre %exo4

\bigskip

On considère le repère orthonormé $(O\,;\,I\,,\,J)$ ci-contre.
\begin{enumerate}
	\parpic[r]{%
		\psset{unit=0.75cm,tickwidth=1pt,xlabelsep=3pt,ylabelsep=3pt}
		\defgrille{-5.5}{5.5}{1}{0.5}{-5}{6}{1}{0.5}
		\begin{pspicture}(-5.5,-5)(5.5,6)
		\grilles{linewidth=0.4pt,linecolor=orange}
		\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5.5,-5)(5.5,6)
		\psdots[dotscale=1.25](1,0)(0,1)
		\uput[u](1,0){\point{I}}\uput[r](0,1){\point{J}}\uput[dl](0,0){{\scriptsize 0}}
		\end{pspicture}
	}%
	\item Placer les points  $A \coordpl{-2}{-2}$, $B\coordpl{0}{-3}$, $C \coordpl{2}{1}$ et $D \coordpl{0}{2}$.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs \\$\vect{AD}$ et $\vect{BC}$.
		\item Que peut-on en déduire pour le quadrila-\\tère ABCD ?
	\end{enumerate}
	\item Calculer les coordonnées du point E, intersection des diagonales de ABCD. Placer E.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la distance AC.
		\item Montrer que ABCD est un rectangle.
	\end{enumerate}
	\item Soit G le point de coordonnées $\coordpl{-3}{\dfrac{7}{2}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer G puis calculer les coordonnées du \\vecteur $\vect{GC}$.\smallskip
		\item Les vecteurs $\vect{GC}$ et $\vect{GD}$ sont-ils colinéaires ? Justifier par un calcul.
		\item Les points G, C et D sont-ils alignés ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%Les classes de terminales S d’un lycée comptent 90 élèves.
%Ces élèves ont le choix entre quatre spécialités : Mathématiques (M) ; Physique-Chimie (PC) ; Science de la Vie et de la Terre (SVT) ; Informatique et Sciences du Numérique (ISN).
%Les élèves se répartissent comme suit :
%\begin{center}
%	\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%	\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{6}{Y|}}
%		\cline{2-6}
%		\multicolumn{1}{c|}{} & M & PC & SVT & ISN & Total \\ \hline
%		Garçon & 18 & 12 & 10 & 14 & 54 \\ \hline
%		Fille &	18 & 5 & 7 & 6 & 36 \\ \hline
%		Total & 36 & 17 & 17 & 20 & 90 \\ \hline
%	\end{tabularx}
%\end{center}
%
%On choisit un élève de terminale S au hasard.
%\begin{enumerate}
%	\item Soit M l’événement \og l’élève a choisi la spécialité Maths \fg{}. Quelle est la probabilité de M ?
%	\item Soit G l’événement \og l’élève choisi est un garçon \fg{}. Calculer $p(G)$.
%	\item Décrire l’événement $M \cap G$ à l’aide d’une phrase puis déterminer $p (M \cap G)$.
%	\item  Décrire l’événement $M \cup G$ à l’aide d’une phrase puis déterminer $p(M \cup G)$.
%	\item Décrire l’événement $\overline{M}$. Déterminer $p \left(\overline{M}\right)$.
%
%\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Exercice 5 (7 points)}\strut\lignetitre %exo5

\bigskip

À la suite d’un devoir noté sur 20 points d’une classe de seconde, on a établi le tableau suivant :
\begin{center}
	\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
	\begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|l|*{10}{Y|}}
		\hline
		Note & 3 & 4 & 5 & 6 & 8 & 9 & 10 & 13 & 15 & 18 \\ \hline
		Effectifs & 1 & 1 & 3 & 2 & 5 & 6 & 2 & 8 & 6 & 2 \\ \hline
		Effectifs Cumulés Croissants &&&&&&&&&& \\ \hline									
	\end{tabularx}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Quelle est la population étudiée ? Quel est le caractère étudié ?
	\item Compléter les Effectifs Cumulés Croissants dans le tableau ci-dessus.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, par la méthode de votre choix, la médiane de cette série.
		\item Calculer le premier quartile $Q_1$ de cette série statistique.
		\item Est-il exact d’affirmer que plus de 50\,\% des élèves de la classe a 8 ou plus ? Justifier.
		\item Quel est le pourcentage, arrondi à l’unité, d’élèves ayant 5 sur 20 ou moins ?
		\item Quel paramètre statistique permet d’affirmer que 75\,\% des élèves dépassent la note de 8 ?
	\end{enumerate}
	\item Quelle est, pour ce devoir, la moyenne de la classe de seconde ?
	\item Il y a 12 garçons dans la classe. À ce devoir, la moyenne des garçons est 9,5. Calculer la moyenne des filles.
\end{enumerate}

\bigskip

\titrexo{Exercice 6 (10 points)}\strut\lignetitre %exo6

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item On considère la fonction $f$ dont on donne la courbe représentative $\courbe{f}$ ci-dessous. Répondre en utilisant le graphique, avec la précision qu'autorise sa lecture.
	\begin{enumerate}[itemsep=9pt]
		\parpic[r]{%
			\psset{unit=0.6cm,tickwidth=1pt,xlabelsep=3pt,ylabelsep=3pt}
			\defgrille{-5}{8}{1}{0.5}{-3}{6}{1}{0.5}
			\begin{pspicture}(-5,-3)(8,6)
			%\grilles{linewidth=0.4pt,linecolor=gray}
			\grillep{linewidth=0.5pt,linecolor=gray}
			\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-3)(8,6)
			\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=red,showpoints=true](-4,5)(-2,1)(1,4)(4,0)(5.5,-2)(7,0)
			\rput(2.65,3.5){\red \large $C_f$}
			\end{pspicture}}
		\item Le domaine de définition de $f$ est :
		
		$D_f=$\pointille[5cm]
		\item L'image de $-2$ par $f$ est :  \pointille[3.5cm]  
		\item 0 a pour antécédent(s) : \pointille[3.5cm]
		\item Le nombre \pointille[1.5cm] n’a pas d‘antécédent par $f$.
		\item $f(2)=$\pointille[2cm]
	\end{enumerate}
	\begin{enumerate}[itemsep=9pt,resume]
		\item $f(\pointille[2cm]) = 5$.
		\item Le minimum de $f$ sur $[-4\,;\,7]$ est \pointille[2cm] et il est atteint en \pointille[2cm] 
		\item Le maximum de $f$ sur $[-4\,;\, 7]$ est \pointille[2cm] et il est atteint en \pointille[2cm]
		\item $M(\pointille[2cm]\,;\,4) \in C_f$.
		\item Résoudre graphiquement :
		\begin{multicols}{2}
			$\bullet~~f(x)=4$ : $\textit{S}=\pointille[4cm]$
			
			\medskip
			
			$\bullet~~f(x)<0$ : $\textit{S}=\pointille[4cm]$
			
			\medskip
			
			$\bullet~~f(x)=-3$ : $\textit{S}=\pointille[4cm]$
			
			\medskip
			
			$\bullet~~f(x) \pg 2$ : $\textit{S}=\pointille[4cm]$
			
			\medskip
		\end{multicols}
		\item Compléter le tableau de variation et le tableau de signes de $f$ sur $[-4\,;\,7]$ :
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=2,espcl=5]{$ $/0.8,$ $/1.8}{$ $,$ $}
				\tkzTabVar{}
			\end{tikzpicture}%
			~~%
			\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=2,espcl=5]{$ $/0.8,$ $/1.8}{$ $,$ $}
			\tkzTabVar{}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\item Sur le graphique, tracer la droite $(D)$ d'équation $y=\dfrac12x-1$.
	\end{enumerate}
	\item On considère la fonction P définie sur $\R$ par $P(x)=(x-5)(x+3)$ et la fonction Q définie sur $\R$ par $Q(x)=4x-x^2$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les images par la fonction P des réels $-2$ et $7$.
		\item Déterminer les antécédents de 0 par la fonction $P(x)$.
		\item Déterminer le tableau de signes de la fonction $P$.
		\item Factoriser l'expression $Q(x)$ puis en déduire son tableau de signes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}