\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
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\newcommand{\nomfichier}{[2GT.DM10] Droites concourantes - Correction}
\author{Pierquet}
\title{\nomfichier}
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\fancypagestyle{entetedm}{\fancyhead[L]{\entete{À rendre avant le ...}}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\lhead{\entete{}}
\chead{\entete{\lycee}}
\rhead{\entete{2GT - Mars 2018}}
\lfoot{\pied{}}
\cfoot{\pied{}}
\rfoot{\pied{}}

\grandtitre{Correction du DM10}

{\large \textbf{Partie 1 - Choix d'un repère}}

\begin{enumerate}
	\item On sait déjà que $(OA)$ et $(OC)$ sont perpendiculaires, donc le repère proposé est \textit{orthogonal}
	
	De plus, les longueurs $\dfrac14 {OA}$ et $\dfrac14 {OA}$ valent 1, donc le repère est \textit{normé}
	
	On peut donc en déduire que $\left( O\,;\,\dfrac14 \vect{OA}\,,\,\dfrac14 \vect{OC} \right)$ est un repère orthonormal
	\item On lit directement $B \coordpl{4}{4}$ ; $G \coordpl{-2}{4}$ ; $F \coordpl{-2}{0}$ ; $D \coordpl{0}{-2}$ ; $E \coordpl{4}{-2}$ ; $\vect{OB} \coordeux{4}{4}$ et $\vect{GD} \coordeux{2}{-6}$
\end{enumerate}

{\large \textbf{Partie 2 - Intersection des droites (OB) et (GD)}}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les vecteurs $\vect{OI}$ et $\vect{OB}$ sont colinéaires car les points O, I et B sont alignés
		\item On travaille par les coordonnées $\vect{OI} \coordeux{x}{y}$ et $\vect{OB} \coordeux{4}{4}$
		
		En utilisant le produit en croix, on a $x \times 4 = y \times 4 \ssi x=y$
		\item On obtient de ce fait $\vect{ID} \coordeux{0-x}{-2-x}$ soit $\vect{ID} \coordeux{-x}{-2-x}$
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Les vecteurs $\vect{ID}$ et $\vect{GD}$ sont colinéaires car les points I, G et D sont alignés
		\item On travaille par les coordonnées $\vect{ID} \coordeux{-x}{-2-x}$ et $\vect{GD} \coordeux{2}{-6}$
		
		En utilisant le produit en croix, on a $-x \times (-6) = (-2-x) \times 2 \ssi 6x=-4-2x \ssi 8x=-4 \ssi x=-\dfrac12$
	\end{enumerate}
	\item On obtient de ce fait $I \coordpl{-\dfrac12}{-\dfrac12}$
\end{enumerate}

{\large \textbf{Partie 3 - La dernière (ligne) droite \Winkey}}

\begin{enumerate}
	\item On va travailler sur les vecteurs $\vect{FI}$ $\vect{FE}$
	
	\tabu{}$\bullet~~$on a $\vect{FI} \coordeux{-\tfrac12-(-2)}{-\tfrac12-0}$ $\vect{FI} \coordeux{\tfrac32}{-\tfrac12}$
	
	\tabu{}$\bullet~~$on a $\vect{FE} \coordeux{6}{-2}$
	
	Par produit en croix, on a $\left\lbrace  \begin{array}{r} \frac32 \times (-2) = -3 \\ -\frac12 \times 6 = -3 \end{array} \right| \Rightarrow \vect{FI}$ et $\vect{FE}$ sont colinéaires
	
	On en déduit donc que les points F, I et E sont alignés
	\item En faisant la synthèse des questions précédentes, on a démontré que les droites $(OB)$, $(GD)$ et $(FE)$ sont concourantes
\end{enumerate}

\end{document}